Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Un exercice: le cercle de Monge
A titre d'exemple traitons un petit exercice typiquement métrique: quel est l'ensemble des points d'où l'on voit une ellipse sous un angle droit?
Soit C l'ellipse en question d'équation
Soit un point p du plan de coordonnées x0, y0. Les tangentes issues de ce point ont pour équations:
c'est-à-dire dans notre cas:
Les termes du second degré de cette équation sont:
Les droites correspondantes seront perpendiculaires si la somme des coefficients des termes carrés en x et y est nulle; on obtient donc:
cela signifie que le point p de coordonnées (x, y) est soumis à la condition:
c'est-à-dire qu'il s'agit d'un cercle (le cercle orthoptique, ou cercle de Monge).
On voit par cet exemple combien une étude préliminaire générale des coniques permet de regagner dans la suite le temps qui aurait été nécessaire à une étude détaillée et séparée de chacun des types de coniques.
Soit C l'ellipse en question d'équation
ax² + by² = 1
Soit un point p du plan de coordonnées x0, y0. Les tangentes issues de ce point ont pour équations:
C²(p,x) - C(p,p).C(x,x) = 0
c'est-à-dire dans notre cas:
(axx0 + byy0 - 1)² - (ax0² + by0² - 1)(ax² + by² - 1) = 0
Les termes du second degré de cette équation sont:
ax²(by0² - 1) - 2abx0y0xy + by²(ax0² - 1)
Les droites correspondantes seront perpendiculaires si la somme des coefficients des termes carrés en x et y est nulle; on obtient donc:
aby0² - a + bax0² - b = 0
cela signifie que le point p de coordonnées (x, y) est soumis à la condition:
x² + y² = (a + b)/ab
c'est-à-dire qu'il s'agit d'un cercle (le cercle orthoptique, ou cercle de Monge).
On voit par cet exemple combien une étude préliminaire générale des coniques permet de regagner dans la suite le temps qui aurait été nécessaire à une étude détaillée et séparée de chacun des types de coniques.