Paraboloïde hyperbolique

Le paraboloïde hyperbolique est, peut-être, la quadrique la plus connue ! Son équation peut s'écrire:

z = xy

C'est la "table de multiplication" apprise dès l'école primaire. C'est également la loi des gaz parfaits sous la forme pV = kRT.

Elle possède des droites, deux familles (les lois de Gay-Lussac obtenues en faisant des sections à pression constante: V = V₀T et à volume constant: p = p₀T) et des hyperboles (loi de Boyle-Mariotte obtenue comme section à température constante: pV = p₀V₀).

Cette quadrique possède donc deux familles de droites.
Son équation peut également se ramener à:

z = x²/a² - y²/b²

Une première famille est formée des droites d'équation:

z = λ(x/a - y/b)
λ = x/a + y/b,

l'autre:

z = μ(x/a + y/b)
μ = x/a - y/b

Chaque famille s'étend à l'infini; le paraboloïde hyperbolique possède donc à l'infini une conique décomposée en deux droites.

On rencontre cette quadrique dans de nombreuses situations (théorie des jeux, barycentre,...).