Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Des suites aux fonctions
Chacun connaît l'anecdote:
Une jolie interprétation géométrique est la suivante:
Pour simplifier prenons la somme des nombres de 1 à 5.
Chaque nombre est représenté par des carrés (d'aire 1); on doit donc calculer l'aire de la figure.
Pour cela il suffit de lui faire faire un demi-tour et d'assembler: on obtient un rectangle de hauteur 5 et de base 6. Son aire vaut 30 et la somme cherchée vaut 30/2 = 15.
C'est d'ailleurs ce qui conduit à la formule donnant la somme des termes d'une suite arithmétique.
Si on somme les naturels on obtient successivement: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,... et tout bon élève reconnaît les coefficients binomiaux donnant le nombre de combinaisons de n objets pris 2 à 2. Mais quel est le rapport avec la somme des n-1 premiers naturels ?
En y réfléchissant un peu, on voit que l'on peut calculer le nombre de paires d'un ensemble de n éléments (par exemple les entiers de 1 à n) de la manière suivante: on compte d'abord le nombre de paires contenant n: il y en a évidemment n-1. Cela fait on compte celles contenant n-1 (et bien évidemment plus n) il y en a n-2, ainsi de suite et l'on trouve que le nombre de paires extraites d'un ensemble de n éléments vaut n + n-1 + n-2 + .....+ 3 + 2 + 1, c'est-à-dire précisément la somme des n-1 premiers naturels.
Au passage nous avons rencontré une série remarquable:
Calculons les différences de termes consécutifs:
et continuons de la même manière:
et le reste n'offre plus d'intérêt. En effectuant les différences successives on arrive à partir de la troisième étape à 0.
Arrêtons-nous un instant car il y a là peut-être quelque chose d'intéressant.
Tout d'abord ces suites forment un espace vectoriel: c'est évident, on peut les additionner, les soustraire, les multiplier par un nombre... et tout continue à fonctionner.
Mais il y a peut être encore plus intéressant. Une suite a1, a2, a3, ... an, ... est en fait une fonction définie sur les naturels; pourquoi ne l'écrit-on d'ailleurs pas a(1), a(2), a(3), ..., a(n), ...?
Bien souvent on peut la prolonger comme une fonction définie sur les entiers. L'exemple ci-dessus montre clairement que c'est très simple.
Retournons les choses; on connaît les différences et on doit retrouver les nombres:
On aurait d'ailleurs pu remarquer que an vaut n(n-1)/2 et calculer de cette manière les termes de la suite correspondant à des indices négatifs.
Mais alors on est tenté de poursuivre et après être passé de n naturel à n entier, passer à n rationnel ou réel et, en fin de compte, étudier la fonction a(x) = x(x-1)/2.
Si on nous donne une fonction, en général on amorce son étude en calculant la dérivée première et éventuellement on poursuit en calculant les dérivées d'ordre supérieur. Mais qu'avions-nous fait ?
Nous avions calculé les différences a i + 1 - a i, ce qui peut s'écrire a(i + 1) - a(i) ou bien encore a(i + 1) - a(i)/(i + 1) - 1.
Est-ce très différent de a(x + h) - a(x)/(x + h) - x, lorsque h=1 ?
Les suites de différences correspondent en fait aux dérivées d'ordre successif.
En particulier si les différences d'ordre n sont nulles, cela correspond à une dérivée d'ordre n qui est nulle. Mais alors ?
La dérivée d'ordre n-1 est constante, celle d'ordre n-2 est linéaire, et ainsi de suite.
Cette remarque peut alors nous aider à résoudre certains exercices.
Soit, par exemple, à calculer la somme des carrés de n premiers naturels.
Essayons donc une fonction générale de type f(n) = an³ + bn² + cn + d; il ne reste qu'à calculer a, b, c et d. Pour cela si n=0 f(n)=0, ensuite f(1)=1, f(2)=5 et f(3)=14.
Cela conduit au système:
et en résolvant ce système, on obtient facilement
Pour les sceptiques il reste toujours la bonne vieille méthode de démonstration par induction; mais... le problème c'est qu'il faut d'abord deviner le résultat !
L'instituteur, ayant besoin d'un peu de répit, demande aux enfants de faire la somme des nombre de 1 à 100. Hélas ! quelques secondes plus tard, le petit Carl Friedrich lève le doigt et dit j'ai terminé: la somme vaut 5050.Comment avait-il fait ? Tout simplement il avait remarqué que 1 + 100 égalait 2 + 99, 3 + 98...et ainsi de suite jusqu'à 50 + 51. Donc la somme valait 50*101 = 5050.
Pas de chance pour l'instit; le petit Gauss était déjà très doué...
Une jolie interprétation géométrique est la suivante:
Pour simplifier prenons la somme des nombres de 1 à 5.
Chaque nombre est représenté par des carrés (d'aire 1); on doit donc calculer l'aire de la figure.
Pour cela il suffit de lui faire faire un demi-tour et d'assembler: on obtient un rectangle de hauteur 5 et de base 6. Son aire vaut 30 et la somme cherchée vaut 30/2 = 15.C'est d'ailleurs ce qui conduit à la formule donnant la somme des termes d'une suite arithmétique.
Si on somme les naturels on obtient successivement: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,... et tout bon élève reconnaît les coefficients binomiaux donnant le nombre de combinaisons de n objets pris 2 à 2. Mais quel est le rapport avec la somme des n-1 premiers naturels ?
En y réfléchissant un peu, on voit que l'on peut calculer le nombre de paires d'un ensemble de n éléments (par exemple les entiers de 1 à n) de la manière suivante: on compte d'abord le nombre de paires contenant n: il y en a évidemment n-1. Cela fait on compte celles contenant n-1 (et bien évidemment plus n) il y en a n-2, ainsi de suite et l'on trouve que le nombre de paires extraites d'un ensemble de n éléments vaut n + n-1 + n-2 + .....+ 3 + 2 + 1, c'est-à-dire précisément la somme des n-1 premiers naturels.
Au passage nous avons rencontré une série remarquable:
1 3 6 10 15 21 28 36 45 ....
1 3 6 10 15 21 28 36 45 ....
2 3 4 5 6 7 8 9 ....
1 3 6 10 15 21 28 36 45 ....
2 3 4 5 6 7 8 9 ....
1 1 1 1 1 1 1 1 ...
0 0 0 0 0 0 0 ....
Arrêtons-nous un instant car il y a là peut-être quelque chose d'intéressant.
Tout d'abord ces suites forment un espace vectoriel: c'est évident, on peut les additionner, les soustraire, les multiplier par un nombre... et tout continue à fonctionner.
Mais il y a peut être encore plus intéressant. Une suite a1, a2, a3, ... an, ... est en fait une fonction définie sur les naturels; pourquoi ne l'écrit-on d'ailleurs pas a(1), a(2), a(3), ..., a(n), ...?
Bien souvent on peut la prolonger comme une fonction définie sur les entiers. L'exemple ci-dessus montre clairement que c'est très simple.
Retournons les choses; on connaît les différences et on doit retrouver les nombres:
... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .... .... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ...-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 .... .... 3 1 0 0 1 3 6 10 15 21 28 ...
Mais alors on est tenté de poursuivre et après être passé de n naturel à n entier, passer à n rationnel ou réel et, en fin de compte, étudier la fonction a(x) = x(x-1)/2.
Si on nous donne une fonction, en général on amorce son étude en calculant la dérivée première et éventuellement on poursuit en calculant les dérivées d'ordre supérieur. Mais qu'avions-nous fait ?
Nous avions calculé les différences a i + 1 - a i, ce qui peut s'écrire a(i + 1) - a(i) ou bien encore a(i + 1) - a(i)/(i + 1) - 1.
Est-ce très différent de a(x + h) - a(x)/(x + h) - x, lorsque h=1 ?
Les suites de différences correspondent en fait aux dérivées d'ordre successif.
En particulier si les différences d'ordre n sont nulles, cela correspond à une dérivée d'ordre n qui est nulle. Mais alors ?
La dérivée d'ordre n-1 est constante, celle d'ordre n-2 est linéaire, et ainsi de suite.
Cette remarque peut alors nous aider à résoudre certains exercices.
Soit, par exemple, à calculer la somme des carrés de n premiers naturels.
1 4 9 16 25 36...
1 5 14 30 55 ....
Comme tout à l'heure, retournons les choses:
1 5 14 30 55 ....
1 4 9 16 25 36...
3 5 7 9 11 ....
2 2 2 2 2...
0 0 0 0 ....
Les différences quatrièmes sont nulles, les différences troisièmes sont constantes,...et la fonction est donc du 3e degré.Essayons donc une fonction générale de type f(n) = an³ + bn² + cn + d; il ne reste qu'à calculer a, b, c et d. Pour cela si n=0 f(n)=0, ensuite f(1)=1, f(2)=5 et f(3)=14.
Cela conduit au système:
| d = 0 a + b + c + d = 1 8a + 4b + 2c + d = 5 27a + 9b + 3c + d = 14 |
et en résolvant ce système, on obtient facilement
f(n) = n(2n + 1)(n + 1)/6.
Pour les sceptiques il reste toujours la bonne vieille méthode de démonstration par induction; mais... le problème c'est qu'il faut d'abord deviner le résultat !