Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Exponentielle et sinus
La fonction exponentielle exp x peut notamment être définie par son développement en série de MacLaurin. On a:
A partir de cette formule on démontre aisément les propriétés essentielles de la fonction exponentielle: exp(0) = 1; 1/exp x = exp(-x); un peu plus difficile, la relation exp x.exp y = exp(x + y).
Ces propriétés ne font appel qu'aux propriétés additives et multiplicatives des variables x et y, c'est-à-dire qu'elles utilisent uniquement le fait que x et y sont des éléments d'un corps commutatif. Rien n'empêche donc de parler de la fonction exp z, où z est un élément du corps des complexes.
On a:
ou, en regroupant (sans trop de précautions !) les termes réels et imaginaires:
On reconnaît les développements en série de MacLaurin des fonctions cosx et sinx. On peut donc écrire:
Comme les propriétés des exponentielles restent valables on a, en particulier:
exp(ix + iy) = exp(ix).exp(iy).
On retrouve les formules classiques d'addition des angles par identification des parties réelles et imaginaires:
et
de même on a la formule de Moivre:
Les nombres complexes représentés par exp(ix) sont situés sur le cercle unité; ils sont de module 1.
Un nombre complexe quelconque peut donc s'écrire comme produit d'un complexe de module 1 et d'un réel positif. On retrouve ainsi la représentation goniométrique des nombres complexes: a + ib = r.(cosω + i sinω) avec r>0. Comme la parenthèse vaut exp(iω), il est bien tentant d'écrire r = exp ρ, ce qui assure le fait que r est un réel positif.
En résumé le nombre a + ib peut s'écrire sous la forme exp (ρ + iω).
Il est intéressant de regarder la fonction Z(z) qui applique x + iy sur exp (x + iy) = X + iY.
Les lignes coordonnées x = x0 et y = y0 sont respectivement appliquées sur les cercles centrés à l'origine et sur les demi-droites issues de l'origine. Cette transformation conserve les angles et des courbes orthogonales sont appliquées sur des courbes orthogonales. Remarquons que, suite à la périodicité de la fonction exp z, une bande horizontale de largeur 2π est appliquée sur tout le plan Z.
Cette application peut être vue de manière dynamique en considérant l'application de z sur une combinaison de z et de exp z.
Une autre fonction intéressante à représenter est la fonction sin z. Utilisons la formule donnant le cosinus d'une somme: sin z = sin(x + iy) = sin x.cos iy + cos x.sin iy.
Il s'agit à présent de voir le sens à attribuer à cos iy et à sin iy. Prenons comme précédemment le développement en série de MacLaurin et nous obtenons:
ce qui peut s'écrire:
De même on a:
ce qui s'écrit
En utilisant ces résultats on peut réécrire la formule:
L'application de z sur sin z donne donc lieu à la transformation:
Les lignes coordonnées x = x0 et y = y0 sont respectivement appliquées sur des ellipses et des hyperboles ayant mêmes foyers. Ces deux familles de coniques sont orthogonales.
En fait étant donné la périodicité de la fonction on applique une portion du plan de la variable z = x + iy à savoir la bande limitée par les droites x = -π/2 et x = π/2 sur le plan Z = X + iY.
Dans le cas de l'application d'une bande du plan de la variable z sur tout le plan de la fonction Z, cette application peut être mieux comprise en regardant l'application Z = (1 - λ).z + λ.sin(z) et en faisant varier λ de 0 à 1. On obtient ainsi une application des deux réseaux de droites orthogonales sur les ellipses et hyperboles homofocales.
A partir de cette formule on démontre aisément les propriétés essentielles de la fonction exponentielle: exp(0) = 1; 1/exp x = exp(-x); un peu plus difficile, la relation exp x.exp y = exp(x + y).
Ces propriétés ne font appel qu'aux propriétés additives et multiplicatives des variables x et y, c'est-à-dire qu'elles utilisent uniquement le fait que x et y sont des éléments d'un corps commutatif. Rien n'empêche donc de parler de la fonction exp z, où z est un élément du corps des complexes.
On a:
ou, en regroupant (sans trop de précautions !) les termes réels et imaginaires:
On reconnaît les développements en série de MacLaurin des fonctions cosx et sinx. On peut donc écrire:
exp(ix) = cosx + isinx
Comme les propriétés des exponentielles restent valables on a, en particulier:
On retrouve les formules classiques d'addition des angles par identification des parties réelles et imaginaires:
cos(x + y) = cos x.cosy - sinxsiny
et
sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny;
de même on a la formule de Moivre:
(cosω + i sinω)n = cos nω + i sin nω
Les nombres complexes représentés par exp(ix) sont situés sur le cercle unité; ils sont de module 1.
Un nombre complexe quelconque peut donc s'écrire comme produit d'un complexe de module 1 et d'un réel positif. On retrouve ainsi la représentation goniométrique des nombres complexes: a + ib = r.(cosω + i sinω) avec r>0. Comme la parenthèse vaut exp(iω), il est bien tentant d'écrire r = exp ρ, ce qui assure le fait que r est un réel positif.
En résumé le nombre a + ib peut s'écrire sous la forme exp (ρ + iω).
Il est intéressant de regarder la fonction Z(z) qui applique x + iy sur exp (x + iy) = X + iY.
Les lignes coordonnées x = x0 et y = y0 sont respectivement appliquées sur les cercles centrés à l'origine et sur les demi-droites issues de l'origine. Cette transformation conserve les angles et des courbes orthogonales sont appliquées sur des courbes orthogonales. Remarquons que, suite à la périodicité de la fonction exp z, une bande horizontale de largeur 2π est appliquée sur tout le plan Z.
Cette application peut être vue de manière dynamique en considérant l'application de z sur une combinaison de z et de exp z.
Une autre fonction intéressante à représenter est la fonction sin z. Utilisons la formule donnant le cosinus d'une somme: sin z = sin(x + iy) = sin x.cos iy + cos x.sin iy.
Il s'agit à présent de voir le sens à attribuer à cos iy et à sin iy. Prenons comme précédemment le développement en série de MacLaurin et nous obtenons:
ce qui peut s'écrire:
De même on a:
ce qui s'écrit
En utilisant ces résultats on peut réécrire la formule:
sin z = sin x.cos iy + cos x.sin iy = ½ [sin x(exp y + exp(-y)) + icos x.(exp y - exp(-y))]
L'application de z sur sin z donne donc lieu à la transformation:
X = ½ sin x[exp y + exp(-y)]
Y = ½ cos x[exp y - exp(-y)]
Y = ½ cos x[exp y - exp(-y)]
Les lignes coordonnées x = x0 et y = y0 sont respectivement appliquées sur des ellipses et des hyperboles ayant mêmes foyers. Ces deux familles de coniques sont orthogonales.
En fait étant donné la périodicité de la fonction on applique une portion du plan de la variable z = x + iy à savoir la bande limitée par les droites x = -π/2 et x = π/2 sur le plan Z = X + iY.
Dans le cas de l'application d'une bande du plan de la variable z sur tout le plan de la fonction Z, cette application peut être mieux comprise en regardant l'application Z = (1 - λ).z + λ.sin(z) et en faisant varier λ de 0 à 1. On obtient ainsi une application des deux réseaux de droites orthogonales sur les ellipses et hyperboles homofocales.