Soient 3 miroirs, c'est-à-dire trois plans de symétrie concourant en un point O. Considérons les images de ces plans sous l'action du groupe engendré. Ils laissent invariantes les sphères de centre O. Si les trois plans étaient parallèles à une même direction, les sphères auraient leur centre à l'infini et l'on aurait en fait un kaléidoscope plan. Les plans de symétrie et leurs images découpent sur une sphère de centre O un pavage par triangles. En effet les angles des domaines découpés par les plans valent π/k, k > 2; ces domaines ne peuvent donc avoir plus de 3 côtés (p.ex. un quadrilatère sphérique ayant une somme des angles supérieure à 2π; aurait nécessairement un angle > π/2). Les triangles sphériques ont une somme d'angles > π; on a donc:


Supposons 2 <= k < l < m; on détermine facilement toutes les solutions: (2, 2, m), (2, 3, 3), (2, 3, 4) et (2, 3, 5). Dans le premier cas on a 2 plans, formant un angle de π/m, perpendiculaires à un troisième plan; le groupe est produit direct du groupe engendré par les symétries par rapport aux deux premiers plans (un groupe diédrique d'ordre 2m) par le groupe engendré par la symétrie par rapport au troisième plan. On reconnaît pour les 3 autres groupes, le groupe des isométries du tétraèdre, du cube ou de l'octaèdre et du dodécaèdre ou de l'icosaèdre. Comment construire un tel kaléidoscope? Partons pour cela des polyèdres réguliers et calculons les angles α, β, γ que font les arêtes du kaléidoscope correspondant.

Les trois arêtes du kaléidoscope coupent le polyèdre au centre d'une face, au milieu d'une arête et en un sommet. Il est dès lors facile, en utilisant par exemple les coordonnées, de calculer ces angles; on trouve facilement les tangentes de ceux-ci.

Pour le tétraèdre: tanα = 22, tanβ = tanγ = 2

pour le cube: tanα = 2, tanβ = 1, tanγ = 2/2

pour le dodécaèdre: .tanα = 2τ², tanβ = τ, tanγ = τ² avec τ = (5 - 1)/2

Remarquons que la somme des angles α + β + γ vaut respectivement π, 3π/4, π/2; on peut utiliser la formule:


En résumé on a les valeurs approximatives suivantes pour les angles des arêtes des trois kaléidoscopes:

	α	β	γ
tétraèdre	70°31'43"	54°44'08"	54°44'08"
cube-octaèdre	54°44'08"	45°	35°12'52"
dodécaèdre-icosaèdre	37°22'39"	31°43'03"	20°54'19"

En développant les kaléidoscopes on obtient les figures suivantes:


A partir de ces développements, il n'est guère difficile en utilisant trois miroirs de construire de tels modèles pour visualiser les symétries, les produits de symétries et les polyèdres archimédiens.

Si l'on fait choix d'un point p, ses images engendrent un polyèdre ayant, en général trois type de faces semi-régulières, comme dans le cas du kaléidoscope plan. A nouveau, les positions de p dans un des trois miroirs ou dans l'un des trois plans bissecteurs rendent un des trois types de faces régulier, et par conséquent sept positions conduisent à des polyèdres à faces régulières.

Indiquons schématiquement les positions des six plans dans le cas du groupe du cube.
On peut voir les familles de polyèdres obtenus en se déplaçant dans chacune des six faces.

230 434 204 où le polyèdre possède à la fois des faces carrées et triangulaires équilatérales, 230 264 034 où le polyèdre possède des faces carrées, 204 238 034 où le polyèdre possède des faces triangulaires équilatérales, 204 468 264 où un des types de faces est un hexagone régulier 230 468 238 où un des type de faces est un octogone régulier 034 468 434 où un des types de faces est un carré.

Indiquons schématiquement les positions des six plans dans le cas du groupe du dodécaèdre.
On peut voir les familles de polyèdres obtenus en se déplaçant dans chacune des six faces.

230 435 205 où le polyèdre possède à la fois des faces pentagonales et triangulaires régulières, 230 265 035 où le polyèdre possède des faces pentagonales régulières, 205 2310 035 où le polyèdre possède des faces triangulaires régulières, 205 4610 265 où un des types de faces est un hexagone régulier 230 4610 2310 où un des type de faces est un décagone régulier 035 4610 435 où un des types de faces est un carré.

Signalons enfin que les groupes kaléidoscopiques contiennent tous les groupes finis d'isométries. On a donc, outre les sous-groupes d'isométries (et de déplacements) des prismes et antiprismes, les trois groupes d'isométries des polyèdres réguliers, les trois groupes de déplacements correspondants, ainsi que le groupe formé des déplacements du cube conservant chacun des deux tétraèdres inscrits et des antidéplacements qui les permutent.

Il est également intéressant de montrer les pavages de la sphère que l'on peut obtenir à partir de ces derniers.

Ces groupes kaléidoscopiques sont connus sous le nom de groupes de Weyl, du nom du mathématicien qui les étudia plus particulièrement.