Pavages réguliers du plan


Nous avons étudié les kaléidoscopes formés par 3 miroirs.

Si les trois miroirs sont parallèles à une même direction, on peut se ramener au cas des kaléidoscopes plans.
Dans le cas où les trois miroirs ont un point commun il s'agit des kaléidoscopes sphériques.

Les images d'un point choisi quelconque donnent les sommets d'un pavage par polygones semi-réguliers.
De manière plus précise si les angles des trois miroirs valent respectivement \(\pi/i, \pi/j, \pi/k\) les polygones semi-réguliers auront respectivement \(2i, 2j\) et \(2k\) côtés.

Par choix d'un point particulier le polygone semi-régulier peut devenir régulier.
Si, par exemple dans le cas où les deux miroirs font un angle de \(\pi/n\), l'on choisit un point situé dans un plan bissecteur de l'angle de deux miroirs, les deux types de côtés du polygone semi-régulier deviennent égaux et le polygone est un polygone régulier de \(2n\) côtés.
Un autre choix consiste à placer le point dans un des miroirs. Dans ce cas une famille de côtés a une longueur nulle et le polygone devient régulier mais à \(n\) côtés seulement.

Remarquons que si \(n=2\) il s'agit d'un digone, c'est-à-dire un segment.
Dans un cas extrême, le point est choisi sur l'intersection de deux miroirs, et alors tous les côtés du polygone ont une longueur nulle: le polygone est réduit à un point.

Considérons les différents kaléidoscopes plans.

Nous représenterons sur les figures les 7 positions donnant lieu à un pavage par polygones réguliers en y indiquant le nombre de côtés de chacun d'entre eux.
Les polygones engendrés par réflexions autour du sommet supérieur sont dessinés en vert, ceux autour du sommet inférieur gauche en bleu et ceux autour du sommet inférieur droit en jaune. Les miroirs sont dessinée en rouge et le point considéré en noir.


  Pavages hexagonaux - Angles de \(\pi/2, \pi/3, \pi/6\)

Dans le cas général, les polygones semi-réguliers auront repesctivement \(4, 6, 12\) côtés; ce nombre sera divisé par \(2\) si le point est situé dans un des miroirs; il sera égal à 0 s'il est à l'intersection de deux miroirs.

En "cliquant" sur un de ces points vous pouvez voir le pavage obtenu.


  Pavages carrés - Angles de \(\pi/2, \pi/4, \pi/4\)

Dans le cas général, les polygones semi-réguliers auront respectivement \(4, 8, 8\) côtés; ce nombre sera divisé par 2 si le point est situé dans un des miroirs; il sera égal à 0 s'il est à l'intersection de deux miroirs.

En "cliquant" sur un de ces points vous pouvez voir le pavage obtenu.


  Pavages triangulaires - Angles de \(\pi/3, \pi/3, \pi/3\)

Dans le cas général, les polygones semi-réguliers auront respectivement \(6, 6, 6\) côtés; ce nombre sera divisé par 2 si le point est situé dans un des miroirs; il sera égal à 0 s'il est à l'intersection de deux miroirs.

En "cliquant" sur un de ces points vous pouvez voir le pavage obtenu.


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