Le théorème de Desargues
5 points c'est tout !


Voici une figure formée de 5 points qui permet de démontrer le théorème de Desargues.

Nous supposerons que ces 5 points sont quelconques, en position générale, c'est-à-dire que 4 points ne sont jamais situés dans un même plan, ce qui implique que 3 points ne sont jamais alignés.

Ces 5 points (noirs) pris 2 à 2 déterminent 10 droites (rouges); pris 3 à 3 ils déterminent 10 plans. La figure formée des 10 droites et des 10 plans permet de retrouver, quand elle est sectionnée par un plan, la configuration de Desargues formée de 10 points (rouges) et 10 droites (bleues).

Généralement, dans le plan cette configuration est présentée comme formée de deux triangles perspectifs, c'est-à-dire tels que les droites qui joignent les sommets correspondants sont concourantes. Enfin les points d'intersection des côtés homologues sont colinéaires.

Comme les 5 points jouent tous le même rôle, les 10 droites et les 10 plans qu'ils déterminent ont chacun les mêmes propriétés d'incidence. Étant donnée une configuration de Desargues, celle-ci peut donc être vue de 10 manières différentes. Chacun des points (intersection d'une droite passant 2 des 5 points) peut être considéré comme centre de perspective de deux triangles. La droite (intersection du plan déterminé par les 3 autres points) est l'axe de la perspective.

Inversement partant d'une configuration de Desargues il n'est guère difficile de la "remonter" dans l'espace et de démontrer ainsi le théorème.


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