Le paraboloïde hyperbolique est probablement la quadrique la plus connue. Non pas sous son nom "mathématique" mais par sa présence dans de nombreuses situations mathématiques ou physiques.

Elle est à la fois courbe, dans deux sens opposés et, en même temps elle possède deux familles de droites.

L'équation du paraboloïde hyperbolique peut également s'écrire sous une autre forme, plus simple : \( z=k.xy \). Les deux familles de droites sont alors: \(x=\lambda\) et \(z=\lambda y\) ainsi que \(y=\mu\) et \(z=\mu x\).

Dans ce système de coordonnées, les boutons + (resp. -) placés au dessus de l'animation vous permettent, en partant du plan coordonné, d'augmenter (resp. de diminuer) la valeur de k qui a été initialement fixée à 0.

Cette quadrique peut être obtenue de diverses manières. En particulier, à partir d'un quadrilatère en faisant glisser une droite sur une paire de côtés opposés; l'autre paire de côtés opposés détermine une direction de plan et la droite reste parallèle à cette direction.

Son équation peut se ramener à:

\[ z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \]

Les deux familles de droites ont pour équations :

\[\left \{ \begin{matrix} z = \lambda(x/a + y/b) \\ \lambda=(x/a - y/b) \end{matrix} \right.~~~~~~ \]

et

\[~~~~~~\left \{ \begin{matrix} z = \mu(x/a - y/b) \\ \mu=(x/a + y/b) \end{matrix} \right. \]

Le paraboloïde hyperbolique possède des points à l'infini formant une conique dégénérée en deux droites.