Paraboloïde hyperbolique


Le paraboloïde hyperbolique est probablement la quadrique la plus connue. Non pas sous son nom "mathématique" mais par sa présence dans de nombreuses situations mathématiques ou physiques.

Elle est à la fois courbe, dans deux sens opposés et, en même temps elle possède deux familles de droites.

L'équation du paraboloïde hyperbolique peut également s'écrire sous une autre forme, plus simple : \( z=k.xy \). Les deux familles de droites sont alors: \(x=\lambda\) et \(z=\lambda y\) ainsi que \(y=\mu\) et \(z=\mu x\).

Dans ce système de coordonnées, les boutons + (resp. -) placés au dessus de l'animation vous permettent, en partant du plan coordonné, d'augmenter (resp. de diminuer) la valeur de k qui a été initialement fixée à 0.


Cette quadrique peut être obtenue de diverses manières. En particulier, à partir d'un quadrilatère en faisant glisser une droite sur une paire de côtés opposés; l'autre paire de côtés opposés détermine une direction de plan et la droite reste parallèle à cette direction.

Son équation peut se ramener à:

\[ z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \]

Les deux familles de droites ont pour équations :

\[\left \{ \begin{matrix} z = \lambda(x/a + y/b) \\ \lambda=(x/a - y/b) \end{matrix} \right.~~~~~~ \] et \[~~~~~~\left \{ \begin{matrix} z = \mu(x/a - y/b) \\ \mu=(x/a + y/b) \end{matrix} \right. \]

Le paraboloïde hyperbolique possède des points à l'infini formant une conique dégénérée en deux droites.


fermer