Polyèdre générique de la famille du dodécaèdre

Voici le polyèdre générique de la famille du dodécaèdre. Les sommets sont les images d'un point quelconque (en dehors des plans, axes et centre de symétrie) sous l'effet de toutes les 120 isométries d'un dodécaèdre.

Dans le cas général, on obtient 20 hexagones semi-réguliers, 12 décagones semi-réguliers ainsi que 30 rectangles (tetragones semi-réguliers).

En modifiant le choix du point initial on peut en rendre certains réguliers. Une autre possibilité s'offre : annuler un des côtés et transformer par exemple un décagone semi-régulier en un pentagone, un rectangle en un digone (un segment). A la limite, les polygones d'une famille peuvent-être ramenés à des points (sommets).
Les positions "exceptionnelles" qui conduisent à ces cas intéressants se produisent quand le point se trouve soit dans un ou plusieurs plans de symétrie, soit dans un plan bissecteur de deux plans de symétrie.


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