Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
PGCD ou PGCM ?
Rappelons brièvement la manière dont on calcule le PGCD de deux naturels à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
Si a et b sont deux naturels avec a > b, on divise a par b. Si le quotient est exact, b est le PGCD; sinon on obtient un reste c < b; le PGCD de a et b divise évidemment c. On recommence avec les 2 naturels b et c et on répète l'opération jusqu'à ce que l'on aboutisse à une division exacte. Le dernier diviseur utilisé est le PGCD des 2 naturels a et b.
En analysant cet algorithme on se rend compte que le fait que a et b soient deux naturels n'est pas essentiel. En effet, effectuer un quotient revient à soustraire plusieurs fois et il n'y a pas de reste lorsque le quotient est un entier. L'algorithme peut donc s'appliquer à plusieurs grandeurs de même nature par exemple 2 segments, 2 réels,...
En fait on recherche une unité de mesure telle que les mesures des 2 grandeurs s'expriment par des entiers; il serait peut-être plus indiqué de parler de PGCM (plus grande commune mesure)! C'est l'opération que l'on effectue lorsque l'on calcule la fréquence ω de la somme de 2 phénomènes périodiques: on recherche le PGCD des fréquences de chaque composante; a cos ω1t + b cos ω2t est une fonction périodique de période 2π/ω où ω est le PGCD de ω1 et ω2.
Vu sous cet angle la recherche du PGCD prend un nouvel intérêt; alors qu'il était évidemment toujours défini dans le cas de 2 naturels, il n'est pas clair qu'il le soit dans le cas de 2 grandeurs, en particulier de 2 segments. De ce fait s'il existe, en mesurant les 2 grandeurs à l'aide du PGCD on obtient 2 naturels et le rapport de deux grandeurs est rationnel; elles sont dites commensurables. Dans le cas contraire il n'existe pas de PGCD (ou pas de plus grande commune mesure); elles sont incommensurables, et le rapport des 2 grandeurs est irrationnel. C'est sous cette optique que sont apparus les premiers irrationnels.
Voyons tout d'abord une manière de géométriser les choses. Soit un rectangle de côtés a et b (a > b). On se demande s'il est possible de paver le rectangle à l'aide de carrés tous égaux.
S'il en est ainsi on peut retrancher des carrés de côté b jusqu'à obtenir un rectangle de grand côté b et de petit côté c égal à a moins le plus grand multiple entier possible de b. On répète l'opération. Si à un certain moment elle se termine, on a trouvé (à la dernière étape) un carré, et même le plus grand, qui pave le rectangle. Le côté de ce carré est le PGCD de a et b.
On peut visualiser les choses en imaginant un rectangle dont les côtés sont des miroirs; on introduit par un sommet un faisceau lumineux incliné à 45°; si par réflexions successives la lumière ressort par le sommet, alors le pavage par carrés est possible et les côtés a et b sont commensurables. Le nombre de réflexions sur chacune des paires de côtés parallèles du rectangle est égal au quotient de chacun des côtés par sa PGCM diminué d'une unité.
Si a et b sont deux naturels avec a > b, on divise a par b. Si le quotient est exact, b est le PGCD; sinon on obtient un reste c < b; le PGCD de a et b divise évidemment c. On recommence avec les 2 naturels b et c et on répète l'opération jusqu'à ce que l'on aboutisse à une division exacte. Le dernier diviseur utilisé est le PGCD des 2 naturels a et b.
En analysant cet algorithme on se rend compte que le fait que a et b soient deux naturels n'est pas essentiel. En effet, effectuer un quotient revient à soustraire plusieurs fois et il n'y a pas de reste lorsque le quotient est un entier. L'algorithme peut donc s'appliquer à plusieurs grandeurs de même nature par exemple 2 segments, 2 réels,...
En fait on recherche une unité de mesure telle que les mesures des 2 grandeurs s'expriment par des entiers; il serait peut-être plus indiqué de parler de PGCM (plus grande commune mesure)! C'est l'opération que l'on effectue lorsque l'on calcule la fréquence ω de la somme de 2 phénomènes périodiques: on recherche le PGCD des fréquences de chaque composante; a cos ω1t + b cos ω2t est une fonction périodique de période 2π/ω où ω est le PGCD de ω1 et ω2.
Vu sous cet angle la recherche du PGCD prend un nouvel intérêt; alors qu'il était évidemment toujours défini dans le cas de 2 naturels, il n'est pas clair qu'il le soit dans le cas de 2 grandeurs, en particulier de 2 segments. De ce fait s'il existe, en mesurant les 2 grandeurs à l'aide du PGCD on obtient 2 naturels et le rapport de deux grandeurs est rationnel; elles sont dites commensurables. Dans le cas contraire il n'existe pas de PGCD (ou pas de plus grande commune mesure); elles sont incommensurables, et le rapport des 2 grandeurs est irrationnel. C'est sous cette optique que sont apparus les premiers irrationnels.
Voyons tout d'abord une manière de géométriser les choses. Soit un rectangle de côtés a et b (a > b). On se demande s'il est possible de paver le rectangle à l'aide de carrés tous égaux.
S'il en est ainsi on peut retrancher des carrés de côté b jusqu'à obtenir un rectangle de grand côté b et de petit côté c égal à a moins le plus grand multiple entier possible de b. On répète l'opération. Si à un certain moment elle se termine, on a trouvé (à la dernière étape) un carré, et même le plus grand, qui pave le rectangle. Le côté de ce carré est le PGCD de a et b.
On peut visualiser les choses en imaginant un rectangle dont les côtés sont des miroirs; on introduit par un sommet un faisceau lumineux incliné à 45°; si par réflexions successives la lumière ressort par le sommet, alors le pavage par carrés est possible et les côtés a et b sont commensurables. Le nombre de réflexions sur chacune des paires de côtés parallèles du rectangle est égal au quotient de chacun des côtés par sa PGCM diminué d'une unité.