Grâce à ses dons exceptionnels remarqués dès l'école primaire, Élie Cartan, né dans une famille très pauvre, eut la chance de pouvoir faire des études jusqu'à l'Ecole Normale Supérieure de Paris où il obtient son doctorat en 1894.

Le travail de Cartan est centré sur les groupes et algèbres de Lie. Sa thèse de doctorat complète les travaux de Killing et donne une classification des algèbres de Lie semi-simples sur les réels et les complexes. Son talent de géomètre lui permet de décrire de manière explicite les 4 familles d'algèbres simples ainsi que les 5 algèbres exceptionnelles.

Bien qu'analyste de formation, Élie Cartan est un des derniers mathématiciens qui excellait dans toutes les branches des mathématiques, depuis la géométrie, qu'elle soit analytique, synthétique ou différentielle, jusqu'à l'analyse en passant par l'arithmétique, l'algébre, les probabilités et la physique mathématique. Sa culture était tellement étendue que certains de ses travaux, trop concis peut-être, ont mis un certain temps avant d'être popularisés.

Au début des années 1920, il entretient une correspondance suive avec Einstein qui vient de développer sa théorie de la relativité générale. Cartan, spécialiste des espaces à connexion, y voit une application très prometteuse. Par la suite, Cartan conservera toujours un intérêt pour la physique: il publie en 1938 un petit livre intitulé "Leçons sur les spineurs". Les spineurs découverts vers 1930 par Dirac, constituaient en fait une représentation de groupes de rotations, cas particulier des représentations de groupes étudiés par Cartan vers 1910. Dans cet opuscule, il donne une remarquable interprétation géométrique de ceux-ci.

Toutefois, les travaux liés à la physique mathématique restent marginaux dans l'œuvre immense d'Élie Cartan qui a été honoré de nombreuses distinctions dans les plus prestigieuses universités européennes.