A l'âge de 5 ans, Hamilton avait déjà étudié le latin, le grec et l'hébreu et il maîtrisa rapidement d'autres langues. A l'âge de 15 ans il se mit à l'étude des travaux de Newton et de Laplace.

En 1822 Hamilton remarqua une erreur dans la Mécanique céleste de Laplace. C'est ainsi qu'il se signala à l'attention de l'institut royal d'astronomie d'Irlande.

Hamilton entra à l'université à 18 ans. Alors qu'il suivait encore les cours au Trinity College de Dublin, il prédit théoriquement la biréfraction dans certains cristaux, ce qui fut confirmé expérimentalement par la suite. Il publia ses résultats dans une série de papiers, en particulier la Theory of Systems of Rays en 1827.

La même année, Hamilton, bien qu'il n'ait pas achevé ses études, fut nommé à l'observatoire royal de Dunsink et professeur d'astronomie au Trinity College.

En 1833 il publia l'étude des vecteurs en tant que paires ordonnées. Il utilisa l'algèbre pour traiter la dynamique dans On a General Method in Dynamics en 1834.

Le 16 octobre 1843 (un lundi) Hamilton se promenait le long du Royal Canal avec sa femme pour présider une réunion de la Royal Irish Academy. Bien que son épouse n'arrêtait pas de lui parler, Hamilton l'entendait à peine car la découverte des quaternions, la première algèbre non commutative étudiée, prenait forme dans son esprit.

Hamilton connaissait la représentation géométrique d'Argand des nombres complexes mais il préférait définir ceux-ci comme paires (a,b) de nombres réels. Il tenta de généraliser cela et de voir comment des triples (a,b,c) de réels pouvaient se multiplier et donner un analogue tridimensionnel. Après plusieurs tentatives infructueuses, son inspiration fut frappée.

And here there dawned on me the notion that we must admit, in some sense, a fourth dimension of space for the purpose of calculating with triples...

Hamilton dit: An electric circuit seemed to close, and a spark flashed forth . Il ne put résister à l'envie de graver la formule des quaternions dans la pierre de Brougham Bridge où son épouse et lui étaient passés. Il sentit que sa découverte pouvait révolutionner la physique mathématique et il passa le reste de sa vie à travailler sur les quaternions, mais personne ne trouva dans les quaternions d'Hamilton la réponse à tout !

Thompson écrivit:

Quaternions came from Hamilton after his really good work had been done; and though beautifully ingenious, have been an unmixed evil to those who have touched them in any way.

La fin de la vie d'Hamilton fut malheureuse et il devint alcoolique. Il décéda des suites d'une attaque de goutte.