L'hyperboloïde à une nappe est probablement la quadrique la plus fascinante.

Elle est à la fois courbe, dans deux sens opposés et, en même temps elle possède deux familles de droites.

On peut se rendre compte de la présence de ces deux familles de droites à partir d'un petit modèle très simple à construire. Un cylindre et ses génératrices peut être fabriqué à partir de deux cercles situés dans des plans parallèles reliés par un axe vertical. Les points homologues sont reliés par des fils élastiques. En maintenant fixe l'un des cercles et en faisant tourner l'autre, on obtient un hyperboloïde qui se resserre de plus en plus jusqu'à devenir un cône. Vous pouvez utiliser les boutons situés ci-dessous pour mieux visualiser l'évolution de la surface.

L'équation cartésienne de l'hyperboloïde à une nappe peut se ramener à:

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \]

Cette équation peut également s'écrire:

\( (x/a - z/c)(x/a + z/c) \) = \((1 - y/b)(1 + y/b) \)

et peut se ramener, de deux manières distinctes, à un système de deux équations linéaires (de 2 plans) dépendant d'un paramètre (\(\lambda\) ou \(\mu\) ) c'est-à-dire l'équation de deux familles de droites :

\( \left \{ \begin{matrix} (x/a - z/c) = \lambda(1 + y/b) \\ \lambda(x/a + z/c) = (1 - y/b) \end{matrix} \right. \) et \( \left \{ \begin{matrix} (x/a + z/c) = \mu(1 + y/b) \\ \mu(x/a - z/c) = (1 - y/b) \end{matrix} \right. \)