Considérons le graphique de la fonction \(\mathbf{sin~}x\) (dessiné dans le plan \(\Bbb R^2\), bien qu'il existe d'autres représentations de cette fonction).
La courbe représentative présente une grande régularité et on peut sans peine recenser les isométries qui la conservent.
Il est tentant de composer entre elles ces diverses isométries.
On obtient le tableau suivant:
o | \(T\) | \(S\) | \(C\) | \(G\) | ||||||||||||||||
\(T\) |
| |||||||||||||||||||
\(S\) | ||||||||||||||||||||
\(C\) | ||||||||||||||||||||
\(G\) |
On constate que le regroupement des isométries en 4 classes est raisonnable et que ces classes ont entre elles un comportement cohérent.
De plus, la table de composition obtenue ressemble à celle des isométries conservant un rectangle. Ce n'est pas un hasard !
Dans le graphique de la sinusoïde, soit un point d'abscisse \(\alpha\).
On voit ainsi que les translations \(T\) correspondent à la transformation identique, les symétries \(S\) à la symétrie par rapport à l'axe vertical (passage à l'angle supplémentaire), les symétries centrales \(C\) à la symétrie par rapport à l'axe horizontal (angle opposé) et enfin les symétries glissées \(G\) à la symétrie par rapport au centre du cercle (passage à l'angle antisupplémentaire).
La table de composition de ces 4 transformations est la même que celle des isométries d'une sinusoïde.
Les mathématiciens disent qu'il y a un (homo)morphisme du groupe des isométries conservant une sinusoïde sur le groupe des isométries d'un rectangle; on en a fait le quotient par le sous-groupe invariant \(T\) des translations.