Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Mise en boîte
Dans un supermarché, on rencontre pas mal de produits conditionnés en boîtes métalliques. Le problème qui se pose aux fabricants est de produire des boîtes à conserve de la manière la plus économique.
Abordons tout d'abord le problème de manière très classique. Une boîte est une portion de cylindre fermée par deux disques circulaires. Ses dimensions sont déterminées dès que l'on s'est donné la hauteur h et le rayon R.
Calculons la quantité de métal utilisée pour stocker un volume donné. Tout d'abord, le volume V vaut πR²h.
Quant à la quantité de métal utilisée, elle vaut 2πR² (pour les deux disques) et 2πRh (pour la face latérale, soit au total 2πR(R+h).
Essayons de minimiser la quantité de métal, et pour cela déterminons R et h. Une première condition est h = V/πR². La quantité de métal utilisée vaut 2πR(R + V/πR²) et doit être minimisée. Il s'agit d'une fonction de R dont la dérivée vaut 2π.(2R - V/πR²); elle s'annule si 2R - V/πR² = 0. A partir de là on peut évidemment calculer R et h. On obtient tout de suite la valeur du volume V = 2πR³ et par conséquent h = 2R.
Les mathématiciens sont satisfaits mais un technicien me fait remarquer que lorsqu'on découpe des disques dans une plaque métallique il y a nécessairement des chutes inutilisables. Comment tenir compte de son avis?
Un nouveau problème se pose. Comment découper les disques dans une plaque afin d'avoir un minimum de chutes?
Une première idée est de quadriller la plaque et de découper à l'intérieur de chaque carré un disque.
Il y a beaucoup de pertes. En effet dans un carré de côté 2R on fait un disque de rayon R. On utilise une surface de 4R² pour une surface utile de πR². On n'utilise que π/4 de la surface disponible, soit environ 78,5%.
Il y a une meilleure solution.
Traçons un réseau d'hexagones réguliers d'apothème R, et à l'intérieur de chacun d'eux découpons un disque de rayon R.
Pour la même surface utile πR², on n'utilise que la surface de l'hexagone c'est-à-dire 2R²
3. Dans ce cas on utilise π/23 de la surface disponible soit environ 90,6%.
Voilà, en fait, la meilleure solution.
Dès lors la solution du problème est légèrement différente.
Si l'expression du volume n'a pas changé et vaut toujours V = πR²h, la surface métallique nécessaire vaut à présent 2πRh (pour la surface latérale) à laquelle il faut ajouter deux hexagones, c'est-à-dire 4R²3. On utilise une surface totale de 2R(2R3 + πh). En utilisant la relation h = V/πR², on obtient pour un volume V donné une surface égale à 2R(2R3 + V/R²) dont la dérivée par rapport à R vaut 8R3 - 2V/R² doit être nulle. On en déduit que V = 4R³3; par conséquent la hauteur h = 4R3/π, c'est-à-dire à peu près 2,205 R.
Cette proportion est effectivement vérifiée pour les boîtes de grande capacité. (Il est clair que des asperges seront conditionnées différemment!)
Abordons tout d'abord le problème de manière très classique. Une boîte est une portion de cylindre fermée par deux disques circulaires. Ses dimensions sont déterminées dès que l'on s'est donné la hauteur h et le rayon R.
Calculons la quantité de métal utilisée pour stocker un volume donné. Tout d'abord, le volume V vaut πR²h.
Quant à la quantité de métal utilisée, elle vaut 2πR² (pour les deux disques) et 2πRh (pour la face latérale, soit au total 2πR(R+h).
Essayons de minimiser la quantité de métal, et pour cela déterminons R et h. Une première condition est h = V/πR². La quantité de métal utilisée vaut 2πR(R + V/πR²) et doit être minimisée. Il s'agit d'une fonction de R dont la dérivée vaut 2π.(2R - V/πR²); elle s'annule si 2R - V/πR² = 0. A partir de là on peut évidemment calculer R et h. On obtient tout de suite la valeur du volume V = 2πR³ et par conséquent h = 2R.
Les mathématiciens sont satisfaits mais un technicien me fait remarquer que lorsqu'on découpe des disques dans une plaque métallique il y a nécessairement des chutes inutilisables. Comment tenir compte de son avis?
Un nouveau problème se pose. Comment découper les disques dans une plaque afin d'avoir un minimum de chutes?
Une première idée est de quadriller la plaque et de découper à l'intérieur de chaque carré un disque.
Il y a beaucoup de pertes. En effet dans un carré de côté 2R on fait un disque de rayon R. On utilise une surface de 4R² pour une surface utile de πR². On n'utilise que π/4 de la surface disponible, soit environ 78,5%.
Il y a une meilleure solution.
Traçons un réseau d'hexagones réguliers d'apothème R, et à l'intérieur de chacun d'eux découpons un disque de rayon R.
Pour la même surface utile πR², on n'utilise que la surface de l'hexagone c'est-à-dire 2R²
3. Dans ce cas on utilise π/23 de la surface disponible soit environ 90,6%.Voilà, en fait, la meilleure solution.
Dès lors la solution du problème est légèrement différente.
Si l'expression du volume n'a pas changé et vaut toujours V = πR²h, la surface métallique nécessaire vaut à présent 2πRh (pour la surface latérale) à laquelle il faut ajouter deux hexagones, c'est-à-dire 4R²
3. On utilise une surface totale de 2R(2R3 + πh). En utilisant la relation h = V/πR², on obtient pour un volume V donné une surface égale à 2R(2R3 + V/R²) dont la dérivée par rapport à R vaut 8R3 - 2V/R² doit être nulle. On en déduit que V = 4R³3; par conséquent la hauteur h = 4R3/π, c'est-à-dire à peu près 2,205 R.Cette proportion est effectivement vérifiée pour les boîtes de grande capacité. (Il est clair que des asperges seront conditionnées différemment!)