C'est évidemment la ville qui se trouve au centre de l'Europe (tout comme autrefois Philippe II avait décidé que la capitale de l'Espagne devrait se trouver au centre de l'Espagne)

Examinons préalablement un problème plus simple. Soient n capitales situées le long d'une route rectiligne; où placer le "centre" de cet ensemble? L'avantage de cet exemple est qu'il peut plus facilement se laisser algébriser. La route sera l'axe des réels et chaque ville sera repérée par son abscisse. Nous devons trouver le "centre" d'un ensemble de nombres réels.

Si x₁, x₂,..., x_n sont les n réels, soit x l'abscisse du centre; il semble raisonnable d'exiger que la somme des distances de x aux x_i soit minimum. La distance de x à x_i vaut x - x_i, ou plus exactement valeur absolue de x - x_i; il faut donc minimiser la somme des valeurs absolues.
Ce n'est pas un problème très classique car cette fonction, bien que continue, n'a pas une dérivée continue; entre deux valeurs consécutives des x_i la fonction est linéaire mais chaque fois que x franchit l'un des points x_i la pente de la droite change.
Cette fonction sera minimum en m s'il y a autant de valeurs de x_i, d'un côté que de l'autre, ou s'il y a un nombre pair de x_i, pour toute valeur de x telle qu'il y ait autant de x_i inférieurs que de x_i supérieurs. Cette valeur x est appelée la médiane des x_i.

La situation va évidemment se compliquer si dans le plan (sur une carte géographique) nous disposons de n capitales; il faudra minimiser la somme des distances, c'est-à-dire une somme de racines carrées. Nous y reviendrons plus tard.

Cette notion de médiane, pourtant mieux adaptée dans beaucoup de problèmes (salaire moyen, taux moyen d'occupation,...) que celle de moyenne arithmétique, n'est guère utilisée en statistique et la cause réside vraisemblablement dans la difficulté technique de sa détermination à plus d'une dimension.

Mais la moyenne arithmétique, si souvent utilisée, minimise-t-elle quelque chose? Eh bien! oui; elle minimise la somme des carrés des distances. En effet soit F cette somme de carrés:

Le centre de gravité minimise la somme des carrés des distances pondérées.

Revenons au cas de n points de coordonnées (x_i, y_i ) situés dans un plan et pour plus de généralité faisons l'hypothèse qu'ils sont pondérés par des masses m_i (ce peut dans notre cas être la population de chacun des pays).

Désignons par S la somme des carrés des distances du point de coordonnées (x, y) aux n points (x₁, y₁), (x₂, y₂), ... (x_n, y_n) affectés des masses m₁, m₂, ..., m_n

Essayons à présent de réaliser un modèle concret. Prenons une carte de l'Europe que nous collons sur une planche horizontale et en chaque capitale nous perçons un trou; par ces trous nous passons des ficelles que nous réunissons au-dessus. A chacune des ficelles nous attachons en dessous de la planche la masse donnée. Quand tout est terminé, soulevons le point commun à toutes les ficelles et l âchons-le pour qu'il prenne sa position d'équilibre. Où va-t-il se positionner ? Autrement dit quel est le point d'équilibre d'un système de n masses ?

Soient l₁,l₂, ..., l_n les longueurs des ficelles aboutissant aux masses m₁, m₂, ...m_n (de somme M).
Les distances du point d'équilibre aux points valent d₁, d₂, ...,d_n; les n masses pendent à des distances h₁, h₂, ..., h_n de la planche.

On a évidemment l₁ = d₁ + h₁, l₂ = d₂ + h₂, ..., l_n = d_n + h_n

La somme des longueurs pondérées vaut L et est fixée:

Cette distance est maximum, car le centre de gravité tend à être le plus bas possible.

Par conséquent comme L est fixé et que H maximum, il en résulte qu'à la position d'équilibre le point du plan minimise la somme des distances pondérées D = m₁d₁ + m₂d₂ + ... + m_nd_n.

Ce point sera donc la médiane du système de points massiques. Voilà donc une curieuse manière de déterminer le "centre" géographique d'une région !