Euler établit les liens entre la géométrie analytique moderne et la trigonométrie. Il apporta des contributions décisives et fondamentales à la géométrie, à l'analyse et à la théorie des nombres.

Le père d'Euler voulait faire de son fils un homme d'église et l'envoya à l'université de Bâle pour préparer son ministère. Cependant la géométrie devint rapidement sa discipline favorite. Euler obtint le consentement de son père pour se tourner vers les mathématiques après que Johann Bernoulli, qui avait usé de persuasion, devint son maître.

Il rejoignit l'Académie des sciences de St. Petersbourg en 1727, deux ans après sa fondation par Catherine I, l'épouse de Pierre le Grand. Euler servait comme lieutenant médecin dans la marine russe de 1727 à 1730. A St Petersbourg il vécut dans la maison de Daniel Bernoulli. Il devint professeur de physique à l'Académie en 1730 et professeur de mathématiques en 1733. Il se maria et quitta la maison de Bernoulli en 1733. Il eut 13 enfants dont seulement 5 survécurent. Il racontait qu'il avait fait ses plus grandes découvertes en tenant un bébé dans ses bras alors qu'un autre enfant jouait à ses pieds.

La publication de nombreux articles et son livre Mechanica (1736-37), qui présentait pour la première fois la dynamique newtonienne sous forme d'analyse mathématique, lancèrent Euler sur la voie de ses travaux les plus importants.

En 1741, à l'invitation de Frédéric le Grand, Euler rejoignit l'Académie des sciences de Berlin, où il resta 25 ans. Même vivant à Berlin, il recevait une partie de son salaire de Russie mais il ne s'entendit jamais bien avec Frédéric. Durant son séjour à Berlin, il écrivit plus de 200 articles, trois livres d'analyse mathématique, et une publication scientifique populaire Lettres à une princesse d'Allemagne (3 volumes, 1768-72).

En 1766 Euler retourna en Russie. Il s'était disputé avec Frédéric le Grand au sujet de la liberté académique et Frédéric était fort fâché de son départ. Euler perdu la vue de l'oeil droit à l'âge de 31 ans et peu après son retour à St Petersbourg il devint presque complètement aveugle après une opération de la cataracte. Grâce à sa mémoire phénoménale, il fut capable de continuer son travail sur l'optique, l'algèbre et le mouvement linéaire. Chose surprenante, après 1765 (Euler était âgé de 58 ans) il produisit près de la moitié de son oeuvre en dépit de sa cécité totale.

Après sa mort en 1783, l'Académie de St. Petersbourg continua à publier les oeuvres posthumes d'Euler pendant près de 50 ans.

En théorie des nombres, il correspondit beaucoup avec Goldbach. Il unifia le calcul différentiel de Leibniz et la méthode des fluxions de Newton dans l'analyse mathématique. En théorie des nombres il établit le théorème des nombres premiers et la loi de réciprocité quadratique.

Il fut le mathématicien le plus prolifique de son temps; son oeuvre complète comporte 886 livres et articles.

Nous lui devons la notation \(f(x)\) (1734), \(e\) pour la base des logarithmes naturels (1727), \(i\) pour la racine carrée de \(-1\) (1777), \(\pi\) pour pi, \(\Sigma\) comme symbole de sommation (1755) etc. Il introduisit aussi les fonctions beta et gamma, les facteurs intégrants pour les équations différentielles etc.

Il étudia la mécanique des milieux continus, la théorie des mouvements de la lune avec Clairaut, le problème des trois corps, l'élasticité, l'acoustique, la théorie des ondes lumineuses, l'hydraulique, la musique etc. Il établit les fondations de la mécanique analytique, en particulier dans son livre Théorie du mouvement des corps solides (1765).