Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Comment dessiner ?
Une des méthodes les plus courantes pour la représentation plane de figures spatiales est l'axonométrie: 3 vecteurs de base de l'espace (généralement un trièdre orthonormé) sont représentés dans le plan et permettent ainsi de dessiner tout point de l'espace à l'aide de combinaisons linéaires de ceux-ci.
Il est clair que par projection parallèle sur un plan un trièdre orthonormé se projette selon 3 vecteurs qui engendrent le plan. Ce qui est plus surprenant, c'est la réciproque (théorème de Pohlke):
Tout triple de vecteurs (engendrant le plan) peut être vu comme la projection parallèle d'un trièdre orthonormé (à une homothétie près).
Fixons les notations: soient a, b, c les 3 vecteurs orthonormés de l'espace et A, B, C les 3 vecteurs engendrant le plan. Remarquons tout d'abord qu'on peut exprimer l'un de ces trois vecteurs en fonction des deux autres; supposons que ce soit C = λA + μB. On en déduit, pour autant que le théorème soit vrai, que les vecteurs k.(c - λa - μb) se projettent sur le vecteur nul. Cette observation permet de déduire que la direction de projection est celle du vecteur p = c - λa - μb.
La direction de projection étant déterminée, il suffit pour démontrer le théorème, de trouver un plan P (et on peut supposer qu'il passe par l'origine) tel que la projection du trièdre a, b, c parallèlement à p soit A', B', C' semblable à A, B, C; remarquons qu'il suffit d'ailleurs de ne s'intéresser qu'aux vecteurs A et B, étant donné que le vecteur C est déterminé par sa projection C = λA' + μB'.
A ce stade de l'analyse, il est commode d'utiliser des coordonnées. Pour ce faire, on choisit dans l'espace un nouveau repère dont l'un des vecteurs est dirigé selon la direction de projection. Soit D un plan perpendiculaire à p contenant les deux autres vecteurs de base de notre repère. Les deux vecteurs a et b se projettent dans D selon deux vecteurs a' et b' de coordonnées (a1, a2, 0) et (b1, b2, 0). La section par le plan D donnera deux vecteurs de coordonnées (a1, a2, x) et (b1, b2, y).
Choisir le plan P (qui passe par l'origine) revient à choisir x et y de telle manière que la section soit semblable aux vecteurs A et B.
Les conditions s'écrivent:
et
où φ désigne l'angle des vecteurs A et B, et k le rapport des longueurs de A et B.
De ces deux relations on tire sans peine, après substitution et élimination des radicaux:
et
Ces deux équations en x, y représentent dans le plan Oxy deux hyperboles centrées à l'origine: la première d'asymptotes (x - ky)(x + ky) = 0, la seconde d'asymptotes xy - ky²cosφ = 0 c'est-à-dire y.(x - kycosφ ) = 0.
Comme cosφ < 1, il en résulte que les deux paires d'asymptotes se séparent et que les deux hyperboles se coupent en deux points symétriques (x, y) et (-x, -y).
On a donc montré qu'il est possible de sectionner les projetantes des vecteurs a, b parallèlement à la direction de projection p par un plan P de telle manière que les vecteurs obtenus soient semblables aux vecteurs A, B. Il en résulte que tout triple de vecteurs engendrant le plan est, à une homothétie près, la projection d'un trièdre orthonormé. Toutefois les représentations obtenues ne sont pas les plus proches de la réalité; on peut mieux faire.
Il est clair que par projection parallèle sur un plan un trièdre orthonormé se projette selon 3 vecteurs qui engendrent le plan. Ce qui est plus surprenant, c'est la réciproque (théorème de Pohlke):
Tout triple de vecteurs (engendrant le plan) peut être vu comme la projection parallèle d'un trièdre orthonormé (à une homothétie près).
Fixons les notations: soient a, b, c les 3 vecteurs orthonormés de l'espace et A, B, C les 3 vecteurs engendrant le plan. Remarquons tout d'abord qu'on peut exprimer l'un de ces trois vecteurs en fonction des deux autres; supposons que ce soit C = λA + μB. On en déduit, pour autant que le théorème soit vrai, que les vecteurs k.(c - λa - μb) se projettent sur le vecteur nul. Cette observation permet de déduire que la direction de projection est celle du vecteur p = c - λa - μb.
La direction de projection étant déterminée, il suffit pour démontrer le théorème, de trouver un plan P (et on peut supposer qu'il passe par l'origine) tel que la projection du trièdre a, b, c parallèlement à p soit A', B', C' semblable à A, B, C; remarquons qu'il suffit d'ailleurs de ne s'intéresser qu'aux vecteurs A et B, étant donné que le vecteur C est déterminé par sa projection C = λA' + μB'.
A ce stade de l'analyse, il est commode d'utiliser des coordonnées. Pour ce faire, on choisit dans l'espace un nouveau repère dont l'un des vecteurs est dirigé selon la direction de projection. Soit D un plan perpendiculaire à p contenant les deux autres vecteurs de base de notre repère. Les deux vecteurs a et b se projettent dans D selon deux vecteurs a' et b' de coordonnées (a1, a2, 0) et (b1, b2, 0). La section par le plan D donnera deux vecteurs de coordonnées (a1, a2, x) et (b1, b2, y).
Choisir le plan P (qui passe par l'origine) revient à choisir x et y de telle manière que la section soit semblable aux vecteurs A et B.
Les conditions s'écrivent:
et
où φ désigne l'angle des vecteurs A et B, et k le rapport des longueurs de A et B.
De ces deux relations on tire sans peine, après substitution et élimination des radicaux:
a1² + a2² + x² = k² (b1² + b2² + y²)
et
a1b1 + a2b2 + xy = kcosφ (b1² + b2² + y²)
Ces deux équations en x, y représentent dans le plan Oxy deux hyperboles centrées à l'origine: la première d'asymptotes (x - ky)(x + ky) = 0, la seconde d'asymptotes xy - ky²cosφ = 0 c'est-à-dire y.(x - kycosφ ) = 0.
Comme cosφ < 1, il en résulte que les deux paires d'asymptotes se séparent et que les deux hyperboles se coupent en deux points symétriques (x, y) et (-x, -y).
On a donc montré qu'il est possible de sectionner les projetantes des vecteurs a, b parallèlement à la direction de projection p par un plan P de telle manière que les vecteurs obtenus soient semblables aux vecteurs A, B. Il en résulte que tout triple de vecteurs engendrant le plan est, à une homothétie près, la projection d'un trièdre orthonormé. Toutefois les représentations obtenues ne sont pas les plus proches de la réalité; on peut mieux faire.