Dodécaèdre et 5 tétraèdres inscrits


Dans un dodécaèdre, il est possible d'inscrire plusieurs tétraèdres.
Ayant choisi un tétraèdre inscrit, on en déduit les quatre autres obtenus par déplacements du premier.

On obtient de cette manière un ensemble de cinq tétraèdres inscrits dans le dodécaèdre.

Chaque déplacement permute les tétraèdres, et il n'est guère difficile de vérifier qu'aux 60 déplacements, correspondent les 60 permutations paires des 5 couleurs.

On voit ainsi que le groupe des 60 déplacements du dodécaèdre est isomorphe au groupe des permutations paires de 5 éléments noté Alt(5).

On remarque qu'à cause de la dualité dodécaèdre-icosaèdre, les 5 tétraèdres inscrits dans le dodécaèdre sont circonscrits à un icosaèdre.


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