Paraboloïde hyperbolique


Le paraboloïde hyperbolique est, peut-être, la quadrique la plus connue !

Son équation peut s'écrire : \( z = x y \)

C'est la "table de multiplication" apprise dès l'école primaire.
C'est également la loi des gaz parfaits sous la forme \(pV = nRT\).

Elle possède des droites, deux familles (les lois de Gay-Lussac obtenues en faisant des sections à pression constante: \(V = V_0.T\) et à volume constant: \(p = p_0.T)\) et des hyperboles (loi de Boyle-Mariotte obtenue comme section à température constante: \(pV = p_0.V_0)\)


Cette quadrique possède donc deux familles de droites.
Son équation peut également se ramener à:

\[ z = \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} \]

Une première famille est formée des droites d'équation:

\[ \left \{ \begin{matrix} z =& \lambda(x/a - y/b) \\ \lambda=& x/a + y/b \end{matrix} \right. \] l'autre:
\[ \left \{ \begin{matrix} z=& \mu(x/a + y/b) \\ \mu=& x/a - y/b \end{matrix} \right. \]

Chaque famille s'étend à l'infini; le paraboloïde hyperbolique possède donc à l'infini une conique décomposée en deux droites.

On rencontre cette quadrique dans de nombreuses situations (théorie des jeux, barycentre,...).


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