A l'occasion de l'étude des projections orthogonales , nous avons utilisé le fait que si un point est l'orthocentre d'un triangle, chacun des sommets du triangle est l'orthocentre du triangle formé par les 2 autres sommets et l'orthocentre de l'ancien triangle.

On peut obtenir une très jolie démonstration vectorielle de cette propriété. Soient \(a, b, c, d\), 4 points quelconques ; on a :

\[ab.cd + ac.db + ad.bc = 0\]

En effet en introduisant un point arbitraire \(p\) on a :

\[(pb - pa).(pd - pc) + (pc - pa).(pb - pd) + (pd - pa).(pc - pb) = 0\]

Cette relation est une identité : si les 4 points \(a, b, c, d\) sont alignés, elle est appelée relation de Stewart .

Lorsque les 4 points sont situés dans un plan, on voit que pour un triangle ayant 3 des points comme sommets (par exemple \(a, b, c\), si le point \(bd\) est à l'intersection de deux hauteurs, par exemple \(cd\), la hauteur relative à \(ab\) et \(bd\) celle relative à \(ac\), les deux premiers produits scalaires sont nuls. Il en résulte que \(ad.bc = 0\) et par conséquent \(ad\) est la hauteur relative au côté \(bc\). Le point d est donc l'orthocentre du triangle abc . On a donc la propriété remarquable :

Etant donné 4 points d'un plan, si l'un est l'orthocentre du triangle formé par les 3 autres, chacun des points est l'orthocentre du triangle ayant pour sommets les trois autres

Remarquons enfin que cette relation ne suppose pas que les 4 points \(a, b, c, d\) soient coplanaires ; on peut en déduire que si dans un tétraèdre \(abcd\), 2 paires de côtés opposés, par exemple \((ab, cd)\) et \((ac, db)\) sont orthogonales, alors il en est de même pour la troisième paire \((ad, bc)\).