Il est évident que si on utilise une axonométrie quelconque on est, en général, choqué par la représentation obtenue.
Examinons, à titre d'exemple, la représentation la plus usuelle, la perspective cavalière, et regardons comment se représente une sphère.

Établissons tout d'abord les équations d'une telle projection. Le point de coordonnées $(x, y, z)µ est représenté par le point $(X, Y) = (x - kz, y - kz)µ où $kµ représente un rapport de réduction sur l'axe $zµ (dans la pratique $kµ vaut souvent soit $½µ, soit $\sqrt{2}/2µ

Soit la sphère $x^2+y^2+z^2=R^2µ. Une famille de plans parallèles au plan $oxyµ sectionnera la sphère selon des cercles dont les centres s'échelonnent sur l'axe $ozµ ; chacun de ces cercles se projettera en vraie grandeur et l'image de la sphère sera l'enveloppe de la famille des cercles.

On a:

La sphère d'équation $x^2+y^2+z^2=R^2µ donne $(X + kz)^2 + (Y + kz)^2 + z^2 = R^2µ

c'est-à-dire:
\[ (2k^2 + 1)z^2 + 2k(X + Y)z + X^2 + Y^2 - R^2 = 0 \]

Pour chaque valeur de z on a bien un cercle.
Toutefois on ne doit prendre en considération que les points $(X, Y)µ correspondant à des valeurs réelles de $zµ ; il faut donc que l'équation du second degré en $zµ admette des racines réelles. On a donc:

\[ k^2(X + Y)^2 - (2k^2 + 1)(X^2 + Y^2 - R^2) \ge 0 \] ou
\[ - (k^2 + 1)(X^2 + Y^2) + 2k^2XY + R^2(2k^2 + 1) \ge 0 \]

c'est-à-dire l'équation de l'intérieur d'une ellipse; cette ellipse est l'enveloppe des cercles et les 2 cercles de rayon nul (réduits à un point) sont les foyers de celle-ci.

Il est gênant de voir une sphère représentée par une ellipse; on s'attendrait plutôt à un cercle. Cela est dû au fait que la projection que nous utilisons n'est pas une projection orthogonale sur un plan.

Quand on regarde à une distance suffisamment grande un objet de petite taille, on peut assimiler l'image sur la rétine à une projection orthogonale sur un plan; d'où la question: "Comment caractériser les trièdres plans qui sont projection orthogonale d'un trièdre orthonormé ?"

Soit un trièdre orthonormé $oabcµ et $pµ la projetante passant par $oµ.
Sur les axes coordonnés, nous choisirons le sens des vecteurs unités $oa,  ob,  ocµ de manière à ce que la droite $opµ soit intérieure à l'angle solide formé par les vecteurs unités.

Un plan perpendiculaire à $pµ coupe respectivement les axes coordonnés $oa,  ob,  ocµ en $r,  s,  tµ. Le point de percée $hµ de $pµ dans ce plan est l'orthocentre (point de rencontre des hauteurs) du triangle $rstµ.
En effet, $rsµ est dans un plan perpendiculaire à $opµ et à $ocµ; le plan $ohcµ est donc perpendiculaire à $rsµ, et µhtµ est donc une hauteur du triangle $rstµ. Nous concluons donc que les supports des 3 vecteurs du trièdre orthonormé se projettent sur les 3 hauteurs d'un triangle.

À présent se pose la question de savoir si 3 droites quelconques concourantes en h peuvent être considérées comme les 3 hauteurs d'un triangle. Partons d'un point quelconque de l'une d'elles et traçons-lui la perpendiculaire; celle-ci rencontre les deux autres droites en $rµ et $sµ; les 2 perpendiculaires menées de $rµ et $sµ concourent en $tµ, situé sur la troisième droite, car $tµ est l'orthocentre du triangle $hrsµ. On remarque là une propriété intéressante liant les trois sommets d'un triangle et son orthocentre.

Ce point étant acquis, nous voyons que 3 droites concourantes peuvent toujours être considérées comme les trois hauteurs d'un triangle. De plus, nous avons choisi les vecteurs unités de façon à ce que l'orthocentre $hµ soit intérieur au triangle $rstµ; le triangle $rstµ ne peut donc pas avoir d'angle obtus; les angles obtus formés par les paires de hauteurs doivent être tels que la réunion des secteurs donne le plan tout entier.

Il reste à déterminer la projection des points unités sur chacun des trois axes. Pour cela, dessinons un triangle $rstµ dont les trois droites données sont les hauteurs et construisons le développement de la pyramide $orstµ en faisant pivoter chacune des 3 faces latérales $orsµ, $ostµ et $otrµ le long des côtés du triangle rst. Nous obtenons un schéma du type dessiné ci-dessous

Sur chacun des côtés $st, tr, rsµ on a un triangle rectangle en $oµ; de plus les 3 triangles $sto',  tro'',  rso'''µ se replient en $oµ (qui se projette sur $hµ) et par conséquent les points $o',  o''µ et $o'''µ sont situés sur les hauteurs du triangle $rstµ. Maintenant que le développement est construit il ne reste qu'à reporter des longueurs égales (unités) sur chacun des côtés et à les rabattre sur les hauteurs.

En résumé, il suffit de connaître les directions des projections des trois vecteurs $oa, ob, ocµ pour reconstituer le trièdre orthonormé.

Signalons que si les trois directions forment des angles égaux (= 120°), les projections des vecteurs unités ont toutes trois même longueur et la perspective est dite isométrique.