La surface de Boy, élève de Hilbert, a été découverte en 1902.

Cette surface est obtenue à partir d'un ruban de Möbius en contractant son unique bord, ou ce qui revient au même, en y recollant un disque. La surface de Boy ne possède donc qu'une seule face, est non-orientable.

Elle possède la même structure topologique que celle d'un plan projectif .

La première représentation analytique semble avoir été donnée en 1981 par Jean-Pierre Petit et Jérôme Souriau (voir le Topologicon: édition Belin).

On peut trouver des équations pour cette surface, par exemple celles ci-dssous, qui dépendent d'un paramètre positif a inférieur à \(\sqrt{2}\) ; nous avons choisi a = 1 :

\[ \small \begin{cases} x = \sqrt{2}~\mathbf{cos}(2u)~\mathbf{cos}^2(v) + \mathbf{cos}(u)~\mathbf{sin}(2v)~/~(2~-~a~\mathbf{sin}(3u)~\mathbf{sin}(2v)) \\ y = \sqrt{2}~\mathbf{sin }(2u)~\mathbf{cos }^2(v) - \mathbf{sin}(u)~\mathbf{sin}(2v)~/~(2~-~a~\mathbf{sin}(3u)~\mathbf{sin}(2v)) \\ z = 3\mathbf{cos}^2(v)~/~(2-a~\mathbf{sin}(3u)~\mathbf{sin}(2v)) \end{cases} \]