Pour certains événements peu fréquents, la probabilité $p$ est très faible et tend vers zéro. Toutefois la valeur moyenne $np$ tend vers une valeur fixe lorsque $n$ tend vers l'infini.

Nous partirons donc d'une distribution binomiale de moyenne $m=np$ que nous supposerons finie lorsque $n$ tend vers l'infini.

La probabilité de $k$ réussites lors de $n$ épreuves vaut: $P_n(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}$. En posant $p=m/n$, cette expression peut s'écrire:

$$\frac{n!}{k!(n-k)!}{(\frac{m}{n})}^k{(1-\frac{m}{n})}^{(n-k)}$$

En regroupant les termes on peut mettre la valeur de P _n ( k ) sous la forme:

$$\frac{m^k}{k!}{(1-\frac{m}{n})}^n\frac{n!}{(n-k)!n^k{(1-\frac{m}{n})}^k}$$

On sait que, lorsque $n$ tend vers l'infini, le deuxième facteur du produit a pour limite $e^{-m}$. Quant au troisième facteur, puisque l'on s'intéresse aux petites valeurs de $k$ (probabilité de réussite est très faible), la limite pour $n$ tendant vers l'infini vaut 1.

On obtient ainsi la loi de Poisson:

P ( k ) = m ^k .e ^-m /k!