Bolyai est né en Hongrie à Kolozsvár (à présent Cluj en Roumanie). Dès l'âge de 13 ans, Bolyai maîtrisait l'analyse et la mécanique analytique; c'était son père, Farkas Bolyai, qui avait pourvu à son instruction. Bolyai devint un violoniste accompli et se produisit à Vienne. Il étudia au Collège Royal d'Ingénieurs à Vienne de 1818 à 1822. Ensuite il entra à l'armée où il resta 11 ans. C'était le meilleur sabreur et danseur de l'armée impériale austro-hongroise.

Il ne fumait ni ne buvait jamais, même pas du café, et, à l'âge de 23 ans, on raconte qu'il avait gardé la modestie de l'innocence. C'était un linguiste accompli parlant neuf langues étrangères, y compris le chinois et le tibétain.

Entre 1820 et 1823, il prépara un traité sur un système complet de géométrie non euclidienne. Toutefois, avant d'avoir publié son travail, Bolyai découvrit que Gauss avait anticipé une grande partie de ses découvertes. Cependant Gauss n'avait jamais publié ses recherches dans ce domaine. Le travail de Bolyai paru en 1832 comme appendice à un essai de son père.

Gauss, en lisant cet appendice, écrivit à un ami lui disant

Je considère ce jeune géomètre, Bolyai, comme un génie de premier ordre.

Il écrivit au père de Bolyai:

Admirer cela reviendrait à m'admirer. En effet le contenu de son travail....coïncide exactement avec mes propres réflexions durant les trente, trente-cinq dernières années.

En 1848, Bolyai découvrit que Lobatchevski avait publié un travail similaire en 1829.

Outre son oeuvre en géométrie, Bolyai développa le concept rigoureux de nombre complexe comme couple de réels.

Bolyai était atteint de fièvre qui l'handicapait fréquemment et en 1833 il fut pensionné à l'armée. Bien que n'ayant publié que 24 pages d'appendice, il laissa à sa mort plus de 20000 pages de manuscrits mathématiques. Elles sont à présent à la bibliothèque Bolyai-Teleki à Tirgu-Mures.

Le portrait ci-dessus est repris d'un timbre-poste hongrois émis à l'occasion du centenaire de sa mort.