Distribution de Poisson


Pour certains événements peu fréquents, la probabilité \(p\) est très faible et tend vers zéro. Toutefois la valeur moyenne \(np\) tend vers une valeur fixe lorsque \(n\) tend vers l'infini.

Nous partirons donc d'une distribution binomiale de moyenne \(m=np\) que nous supposerons finie lorsque \(n\) tend vers l'infini.

La probabilité de \(k\) réussites lors de \(n\) épreuves vaut: \(P_n(k)={n\choose k}p^kq^{n-k}\).
En posant \(p=m/n\), cette expression peut s'écrire:

\[ {\frac {n!}{k!(n-k)!} {( \frac m n)}^k \left(1-{\frac m n}\right)^{(n-k)}} \]

En regroupant les termes on peut mettre la valeur de Pn(k) sous la forme:

\[ \frac {m^k} {k!} {(1 - \frac m n)}^n \frac {n!}{{(n-k)}! {n^k} {(1-{\frac m n})}^k } \]

On sait que, lorsque \(n\) tend vers l'infini, le deuxième facteur du produit a pour limite \(e^{-m}\).
Quant au troisième facteur, puisque l'on s'intéresse aux petites valeurs de \(k\) (probabilité de réussite est très faible), la limite pour \(n\) tendant vers l'infini vaut 1.

On obtient ainsi la loi de Poisson:

P(k) = mk.e-m/k!

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