Soit un événement P de probabilité p.

Dans les exemples nous supposerons que nous disposons d'un jeu (non truqué) de 52 cartes et que la probabilité (élémentaire) de tirer une carte donnée vaut 1/52).

L'événement contraire

La probabilité de ne pas avoir P (de probabilité p), c'est-à-dire d'avoir ¬P est 1 - p.

Si p est la probabilité de tirer un coeur (1/4), la probabilité de ne pas tirer un coeur vaut 1 - p.

La probabilité de P et Q

La probabilité de PQ sera désignée par p*q.
Dans le cas où P et Q sont des événements indépendants, la valeur p*q est égale au produit pq.

Prenons l'exemple d'un jeu de cartes: soit P l'événement qui consiste à tirer un coeur et Q celui qui consiste à tirer une figure (Roi, Dame ou Valet); p = 1/4 et q = 3/13; il est clair que la probabilité de tirer une carte qui soit un coeur et une figure vaut 1/4.3/13 = 3/52.

S'il n'en est pas ainsi p*q est en général différent du produit pq; en particulier p*p est la probabilité d'avoir PP; elle vaut celle d'avoir P et donc p*p = p.

Soit P l'événement qui consiste à tirer une carte de valeur inférieure à 6 (As, 2, 3, 4 ou 5) et Q celui qui consiste à tirer un trèfle qui ne soit pas une figure; p = 20/52 = 5/13 et q = 10/52 = 5/26; toutefois P et Q ne sont pas indépendants et il est clair que la probabilité de tirer une carte de valeur inférieure à 6 et un trèfle qui n'est pas une figure vaut 5/52 et non pas 5/13.5/26!

La probabilité de P ou Q

Quelle est la probabilité d'avoir PQ? C'est évidemment la probabilité d'avoir P à laquelle on ajoute celle d'avoir Q en décomptant la probabilité d'avoir simultanément P et Q (elle a été comptée deux fois); c'est donc p + q - p*q.

Si P consiste à tirer un carreau (p = 1/4) et Q une figure (q = 12/52 = 3/13), la probabilité de tirer une carte qui soit un carreau et une figure vaut 3/52. On en déduit que la probabilité de tirer une carte qui soit un carreau ou une figure vaut 1/4 + 3/13 - 3/52 = 22/52 = 11/26).

On retrouve ainsi des règles de calcul semblables à celles utilisées en logique. Dans ce cadre p ne pouvait prendre que les valeurs 0 ou 1.
En fait, la probabilité p d'un événement P est la mesure du sous-ensemble des cas où l'événement P est réalisé à l'aide de l'ensemble E pris comme unité.

La probabilité de "non (P et Q)"

A nouveau si les événements P et Q sont indépendants, cette probabilité vaut 1-p*q

Si P consiste à tirer un carreau (p = 1/4) et si Q est tirer une figure (q = 12/52 = 3/13), la probabilité de tirer une carte qui ne soit pas une figure en carreau vaut 1 - 1/4*3/13 = 49/52 (tout convient sauf le valet, la dame et le roi de carreau).

Cette notion correspond à la "barre de Scheffer" utilisée en théorie des ensembles.

On voit ainsi le lien étroit qui existe entre logique, probabilités et ensembles.