Probabilités


Soit un événement \(P\) de probabilité \(p\).

Dans les exemples nous supposerons que nous disposons d'un jeu (non truqué) de 52 cartes et que la probabilité (élémentaire) de tirer une carte donnée vaut 1/52).

L'événement contraire

La probabilité de ne pas avoir \(P\) (de probabilité \(p\)), c'est-à-dire d'avoir ¬\(P\) est 1 - \(p\).

Si \(p\) est la probabilité de tirer un coeur (1/4), la probabilité de ne pas tirer un coeur vaut \(1-p\).

La probabilité de P et Q

La probabilité de \(P\land Q\) sera désignée par \(p*q\).
Dans le cas où \(P\) et \(Q\) sont des événements indépendants, la valeur \(p*q\) est égale au produit \(pq\).

Prenons l'exemple d'un jeu de cartes: soit \(P\) l'événement qui consiste à tirer un coeur et \(Q\) celui qui consiste à tirer une figure (Roi, Dame ou Valet); p = 1/4 et q = 3/13; il est clair que la probabilité de tirer une carte qui soit un coeur et une figure vaut 1/4.3/13 = 3/52.

S'il n'en est pas ainsi \(p*q\) est en général différent du produit \(pq\); en particulier \(p*p\) est la probabilité d'avoir \(P\land P\); elle vaut celle d'avoir \(P\) et donc \(p*p=p\).

Soit \(P\) l'événement qui consiste à tirer une carte de valeur inférieure à 6 (As, 2, 3, 4 ou 5) et \(Q\) celui qui consiste à tirer un trèfle qui ne soit pas une figure; p = 20/52 = 5/13 et q = 10/52 = 5/26; toutefois \(P\) et \(Q\) ne sont pas indépendants et il est clair que la probabilité de tirer une carte de valeur inférieure à 6 et un trèfle qui n'est pas une figure vaut 5/52 et non pas 5/13.5/26!

La probabilité de P ou Q

Quelle est la probabilité d'avoir \(P\lor Q\)? C'est évidemment la probabilité d'avoir \(P\) à laquelle on ajoute celle d'avoir \(Q\) en décomptant la probabilité d'avoir simultanément \(P\) et \(Q\) (elle a été comptée deux fois); c'est donc p + q - p*q.

Si \(P\) consiste à tirer un carreau (p = 1/4) et \(Q\) une figure (q = 12/52 = 3/13), la probabilité de tirer une carte qui soit un carreau et une figure vaut 3/52.
On en déduit que la probabilité de tirer une carte qui soit un carreau
ou une figure vaut 1/4 + 3/13 - 3/52 = 22/52 = 11/26).

On retrouve ainsi des règles de calcul semblables à celles utilisées en logique. Dans ce cadre \(p\) ne pouvait prendre que les valeurs 0 ou 1.
En fait, la probabilité \(p\) d'un événement \(P\) est la mesure du sous-ensemble des cas où l'événement \(P\) est réalisé à l'aide de l'ensemble \(E\) pris comme unité.

La probabilité de "non (P et Q)"

A nouveau si les événements \(P\) et \(Q\) sont indépendants, cette probabilité vaut \(1-p*q\)

Si \(P\) consiste à tirer un carreau (p = 1/4) et si \(Q\) est tirer une figure (q = 12/52 = 3/13), la probabilité de tirer une carte qui ne soit pas une figure en carreau vaut 1 - 1/4*3/13 = 49/52 (tout convient sauf le valet, la dame et le roi de carreau).

Cette notion correspond à la "barre de Scheffer" utilisée en théorie des ensembles.

On voit ainsi le lien étroit qui existe entre logique, probabilités et ensembles.


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