Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Isométries de la sinusoïde et morphisme
Considérons le graphique de la fonction sinx (dessiné dans le plan R², bien qu'il existe d'autres représentations de cette fonction).
La courbe représentative présente une grande régularité et on peut sans peine recenser les isométries qui la conservent.
Il est tentant de composer entre elles ces diverses isométries.
On obtient le tableau suivant:
On constate que le regroupement des isométries en 4 classes est raisonnable et que ces classes ont entre elles un comportement cohérent.
On obtient une table de composition qui ressemble à celle des isométries conservant un rectangle. Ce n'est pas un hasard !
Dans le graphique de la sinusoïde, soit un point d'abscisse α.
On voit ainsi que les translations T correspondent à la transformation identique, les symétries S à la symétrie par rapport à l'axe vertical (passage à l'angle supplémentaire), les symétries centrales C à la symétrie par rapport à l'axe horizontal (angle opposé) et enfin les symétries glissées G à la symétrie par rapport au centre du cercle (passage à l'angle antisupplémentaire).
La table de composition de ces 4 transformations est la même que celle des isométries d'une sinusoïde.
Les mathématiciens disent qu'il y a un (homo)morphisme du groupe des isométries conservant une sinusoïde sur le groupe des isométries d'un rectangle; on en a fait le quotient par le sous-groupe invariant T des translations.
La courbe représentative présente une grande régularité et on peut sans peine recenser les isométries qui la conservent.
- Tout d'abord des translations T: la fonction est périodique de période 2π. Son graphique est donc invariant pour toutes les translations d'un multiple entier de 2π.
- Il y a plus: on remarque des symétries S d'axes perpendiculaires à Ox: ces axes sont distants d'un multiple entier de π.
- De même on remarque des symétries centrales C dont les centres sont situés sur l'axe Ox et également distants de π.
- Enfin on remarque des symétries glissées G d'axe Ox: la composante de glissement vaut π augmenté d'un multiple entier de 2π
Il est tentant de composer entre elles ces diverses isométries.
On obtient le tableau suivant:
| o | T | S | C | G | ||||||||||||||||
| T |
| |||||||||||||||||||
| S | ||||||||||||||||||||
| C | ||||||||||||||||||||
| G | ||||||||||||||||||||
On constate que le regroupement des isométries en 4 classes est raisonnable et que ces classes ont entre elles un comportement cohérent.
On obtient une table de composition qui ressemble à celle des isométries conservant un rectangle. Ce n'est pas un hasard !
Dans le graphique de la sinusoïde, soit un point d'abscisse α.
- Sous l'action des translations T, nous obtenons l'ensemble des points d'abscisse α + 2kπ, ce qui correspond sur le cercle goniométrique, à des angles représentés par le même point.
- Sous l'action des symétries S, nous obtenons les points d'abscisse π - α +2kπ
- Les symétries centrales donnent les points d'abscisse -α + 2kπ
- Enfin les symétries glissées donnent l'ensemble des points π + α + 2kπ
On voit ainsi que les translations T correspondent à la transformation identique, les symétries S à la symétrie par rapport à l'axe vertical (passage à l'angle supplémentaire), les symétries centrales C à la symétrie par rapport à l'axe horizontal (angle opposé) et enfin les symétries glissées G à la symétrie par rapport au centre du cercle (passage à l'angle antisupplémentaire).
La table de composition de ces 4 transformations est la même que celle des isométries d'une sinusoïde.
Les mathématiciens disent qu'il y a un (homo)morphisme du groupe des isométries conservant une sinusoïde sur le groupe des isométries d'un rectangle; on en a fait le quotient par le sous-groupe invariant T des translations.