Une méthode fort ancienne (abusivement attribuée à Platon) permettait d'extraire la racine carrée d'un nombre par un procédé itératif. Pour calculer la racine carrée x d'un nombre n on partait d'une valeur approchée x₀ de x, et on utilisait la formule:

Si le procédé converge, pour i suffisamment grand et on a:

Intuitivement, si on part d'un point quelconque (non fixe), la transformation lui donne pour image un point qui est plus "proche" d'un des deux points fixes; le segment compris entre le point et le point fixe est transformé en un segment (point image et point fixe) plus petit. Une répétition de la transformation le rendra encore plus petit et les coordonnées des points successifs se rapprocheront de celle du point fixe.

Si on part d'une valeur positive x₀ on obtiendra la racine carrée positive de n. Toutefois la convergence est lente: à titre d'exemple, calculons la racine carrée de 2 en partant de 1; on obtient successivement 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408,... Ne pourrait-on pas améliorer la vitesse de convergence ?

On a utilisé une tranformation dont l'équation est de la forme: C'est une fonction homographique qui représente une projectivité (une permutation) sur la droite coordonnée complétée par l'infini. Si l'on cherche les points fixes, on est amené à résoudre l'équation x(cx + d) = ax + b, ce qui peut s'écrire:

Puisque nous disposons d'un paramètre k, peut-être pourrions-nous jouer sur le choix de k afin d'améliorer la convergence? L'idéal serait évidemment d'aboutir au résultat après une seule itération; on aurait:

Il faudrait donc choisir k égal à la racine carrée de n. Malheureusement, c'est précisément ce que l'on cherche à calculer. Alors, faute de mieux, on peut choisir pour k la meilleure valeur connue à cette étape c'est-à-dire x_i, l'approximation d'ordre i. La formule d'itération devient:

En reprenant l'exemple du calcul de la racine carrée de 2 à partir de 1 on obtient 1, 3/2, 17/12, 577/408,... et la convergence est nettement plus rapide.

Une autre manière d'arriver à cette formule (dite de Héron) est de raisonner comme suit: soit x₀ une valeur de départ pour le calcul de la racine carrée de n. Pour vérifier si elle convient calculons le quotient de n par x₀; en général on trouvera une valeur différente de x₀, mais cette valeur et x₀ encadreront la racine carrée cherchée. On améliorera la valeur en prenant la moyenne arithmétique de ces deux nombres:

Si l'on voit les choses sous cet angle on peut évidemment se demander pourquoi avoir choisi la moyenne arithmétique et non une autre moyenne, harmonique, géométrique ou même arithmétique pondérée. En fait si x_i, l'approximation d'ordre i, vaut (1 + ε) fois la valeur exacte, le quotient de n par x_ivaut approximativement (1 - ε) fois cette valeur (ε est l'erreur relative commise); par conséquent la moyenne arithmétique convient parfaitement (de même que la moyenne harmonique).

On peut appliquer la même idée pour la recherche d'une racine cubique. Soit x₀ une approximation de la racine cubique de n; on obtient un encadrement par l'intervalle:

Plus généralement pour extraire la racine d'ordre k de n la formule d'itération est:

Enfin une autre manière de voir les choses conduit à la formule de Newton qui possède un champ d'application plus large: soit x_i une approximation d'ordre i de la racine carrée de n; la valeur exacte est x_i + ε; cherchons à déterminer ε:

Cette méthode se généralise à la recherche d'une solution de l'équation f (x) = k. Si x_i est une approximation et x_i + ε la valeur exacte, on obtient en développant en série:

La convergence de cette méthode est assez bonne et dépend du signe de la dérivée seconde. Dans le cas d'une extraction de racine on est assuré de la validité de la méthode de Newton.