Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Sondage, contrôle de qualité...
Des élections vont avoir lieu la semaine prochaine. Les instituts de sondages s'en donnent à coeur joie, et... les résultats diffèrent.
Comment expliquer cela ?
Tout simplement parce qu'il est impossible d'interroger tous les électeurs (c'est justement pour cela qu'il y a des élections). On choisit un échantillon représentatif d'électeurs et d'après leurs avis on en déduit la tendance générale de la population.
La situation est pareille dans le cas de contrôle de qualité.
Un producteur fournit des milliers de pièces en garantissant au maximum 2% de pièces défectueuses. Comme il est impossible de contrôler toute la fourniture on choisit un échantillon et en fonction des résultats on accepte ou on refuse le lot.
Voyons cela de plus près dans le cas d'un sondage préélectoral.
Pour simplifier les choses nous supposerons que la population est très grande et que l'échantillon est formé de 10 personnes. Pour des raisons de commodité nous supposerons ces 10 personnes tirées indépendamment au hasard: il est donc possible de retrouver plusieurs fois la même personne. C'est évidemment hautement improbable si la population est importante.
Supposons que 90% de la population vote pour moi.
Dans ce cas la probabilité p de tomber sur un "bon" électeur est de 0.9 et la probabilité q de tomber sur un "mauvais" est de 0.1.
En se rapportant à la distribution binomiale, on obtient la probabilité d'avoir k "bons" électeurs par la formule
avec p=0.9 et q=0.1
Il est facile de calculer la probabilité d'avoir 10 "bons", c'est-à-dire de relever une fréquence égale à 1; elle vaut 0,910 = 0.349. (en arrondissant à la troisième décimale)
Un rien plus difficile : la probabilité d'avoir 9 "bons", c'est-à-dire d'avoir une fréquence 0.9, vaut 10.0,19.0,91 =0.387.
Avec un rien de patience (et une petite calculette!) on obtient le tableau suivant:
Dans ce tableau nous lisons que si p = 0.9, la probabilité d'observer une fréquence f = 0.8 (c'est-à-dire d'avoir 8 "bons" électeurs sur les 10) vaut 0.194. Nous pouvons egalement affirmer qu'il y a moins de 10% de risque d'erreur d'avoir 8, 9 ou 10 "bons" électeurs dans l'échantillon choisi; en effet la probabilité de relever une fréquence comprise entre 0.8 et 1 vaut 0.194 + 0.387 + 0.349 = 0.930 > 0.9.
Comment expliquer cela ?
Tout simplement parce qu'il est impossible d'interroger tous les électeurs (c'est justement pour cela qu'il y a des élections). On choisit un échantillon représentatif d'électeurs et d'après leurs avis on en déduit la tendance générale de la population.
La situation est pareille dans le cas de contrôle de qualité.
Un producteur fournit des milliers de pièces en garantissant au maximum 2% de pièces défectueuses. Comme il est impossible de contrôler toute la fourniture on choisit un échantillon et en fonction des résultats on accepte ou on refuse le lot.
Voyons cela de plus près dans le cas d'un sondage préélectoral.
Pour simplifier les choses nous supposerons que la population est très grande et que l'échantillon est formé de 10 personnes. Pour des raisons de commodité nous supposerons ces 10 personnes tirées indépendamment au hasard: il est donc possible de retrouver plusieurs fois la même personne. C'est évidemment hautement improbable si la population est importante.
Supposons que 90% de la population vote pour moi.
Dans ce cas la probabilité p de tomber sur un "bon" électeur est de 0.9 et la probabilité q de tomber sur un "mauvais" est de 0.1.
En se rapportant à la distribution binomiale, on obtient la probabilité d'avoir k "bons" électeurs par la formule
avec p=0.9 et q=0.1Il est facile de calculer la probabilité d'avoir 10 "bons", c'est-à-dire de relever une fréquence égale à 1; elle vaut 0,910 = 0.349. (en arrondissant à la troisième décimale)
Un rien plus difficile : la probabilité d'avoir 9 "bons", c'est-à-dire d'avoir une fréquence 0.9, vaut 10.0,19.0,91 =0.387.
Avec un rien de patience (et une petite calculette!) on obtient le tableau suivant:
| Fréquence f relevée dans l'échantillon | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1 |
| p = 0.9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | .001 | .011 | .057 | .194 | .387 | .349 |
Dans ce tableau nous lisons que si p = 0.9, la probabilité d'observer une fréquence f = 0.8 (c'est-à-dire d'avoir 8 "bons" électeurs sur les 10) vaut 0.194. Nous pouvons egalement affirmer qu'il y a moins de 10% de risque d'erreur d'avoir 8, 9 ou 10 "bons" électeurs dans l'échantillon choisi; en effet la probabilité de relever une fréquence comprise entre 0.8 et 1 vaut 0.194 + 0.387 + 0.349 = 0.930 > 0.9.
Poursuivons les calculs pour d'autres valeurs de p; nous nous limiterons ici aux valeurs de p décroissant de dixième en dixième.
On obtient le tableau suivant des fréquences f observées:
| f \ p | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0.9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | .001 | .011 | .057 | .194 | .387 | .349 |
| 0.8 | 0 | 0 | 0 | .001 | .006 | .026 | .088 | .201 | .302 | .268 | .107 |
| 0.7 | 0 | 0 | .001 | .009 | .037 | .103 | .2 | .267 | .233 | .121 | .028 |
| 0.6 | 0 | .002 | .011 | .042 | .111 | .201 | .251 | .215 | .121 | .04 | .006 |
| 0.5 | .001 | .01 | .044 | .117 | .205 | .246 | .205 | .117 | .044 | .01 | .001 |
| 0.4 | .006 | .04 | .121 | .215 | .251 | .201 | .111 | .042 | .011 | .002 | 0 |
| 0.3 | .028 | .121 | .233 | .267 | .2 | .103 | .037 | .009 | .001 | 0 | 0 |
| 0.2 | .107 | .268 | .302 | .201 | .088 | .026 | .006 | .001 | 0 | 0 | 0 |
| 0.1 | .349 | .387 | .194 | .057 | .011 | .001 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
A nouveau que pouvons-nous en conclure? Pour p = 0.6, il y a moins de 10% de risque d'erreur d'affirmer qu'il y aura plus de 3 "bons" électeurs, et moins de 10% de risque d'erreur qu'il y en ait moins de 9 dans l'échantillon choisi.
Si on tolère un risque d'erreur de 10% en plus ou en moins, on acceptera le fait que pour p = 0.6 il y aura entre 4 et 8 "bons" électeurs, s'il n'en est pas ainsi on rejettera l'hypothèse faite sur la valeur de p.
Résumons ces conclusions dans un tableau où nous ne garderons que les valeurs acceptables (avec un risque d'erreur de 10% en plus ou en moins).
En lisant ce tableau "verticalement", on peut donc dire, par exemple, que si sur les 10 personnes interrogées, 9 affirment qu'elles voteront pour moi, la probabilité p est comprise entre 0.7 et 0.9 (à 0.1 près et un risque d'erreur de 10%).
Il va de soi que cette méthode risque de devenir rapidement impraticable si l'échantillon est plus important. Heureusement dans ce cas on sait que l'on peut approcher la loi binomiale par une loi normale.
On dispose d'abaques reprenant les données avec le risque d'erreur toléré.
Ci-contre vous voyez une table correspondant à un risque d'erreur de 10% (5% en trop, 5% en moins). Sur les courbes sont indiquées les tailles des échantillons testés.
A titre d'exemple, supposons un échantillon de 50 unités, et la fréquence v = 0.7 relevée. On en déduit, avec un risque d'erreur de 10%, que p est compris entre 0.53 et 0.81.
On constate que la précision augmente évidemment avec la taille de l'échantillon; les courbes se resserrent lorsque n augmente.
Par contre si on modifie le risque d'erreur en le ramenant à 5%, au contraire, les courbes s'espaceraient.