Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Loi normale
Partons d'une distribution binomiale et faisons tendre le nombre n d'épreuves vers l'infini.
Si p soit fixé au départ, la moyenne np tend également vers l'infini; de plus l'écart npq tend également vers l'infini.
(Le cas où p varie et tend vers 0 tout en laissant fixe la moyenne m = np sera étudié par ailleurs et donnera lieu à la distribution de Poisson).
Si on veut calculer la limite de la distribution binomiale, il s'agira donc de faire un changement d'origine qui stabilise la moyenne, en 0 par exemple, et un changement d'unité qui stabilise l'écart, à 1 par exemple.
Voyons tout d'abord comment varie Pn(k) en fonction de k et calculons la différence:
On en conclut que Pn(k) est une fonction croissante de k, tant que np - k - q est positif. Remarquons que q < 1 et que par conséquent les deux valeurs de k voisines de la moyenne np constituent les maxima de Pn(k). D'autre part la différence Pn(k + 1) - Pn(k) est le taux d'accroissement de la fonctionPn(k) ; il peut s'écrire sous la forme:
Si n devient grand, k l'est également, pour autant que p soit fixé et que l'on s'intéresse aux valeurs de la fonction proches de la moyenne; les variations de k deviennent négligeables par rapport à k. Si l'on effectue un changement de variable adéquat, la variation de la nouvelle variable tend vers 0 et l'on est conduit à effectuer un passage à la limite. Remplaçons k par une nouvelle variable x dont la moyenne soit 0 et telle que son écart vaille 1; on a
; appelons F(x) l'expression dePn(k) calculée
en fonction de la nouvelle variable. Le taux d'accroissement de F(x) vaut:
et, en appliquant le résultat trouvé précédemment, on obtient:
Après un passage à la limite pour n tendant vers l'infini, tenant compte de ce que q < 1 et du fait que les valeurs de k considérées se trouvent au voisinage de la moyenne np, on obtient:
Cette équation peut encore s'écrire:
et en intégrant les deux membres de cette égalité on obtient 
.
Les solutions sont les fonctions 
.
La constante est déterminée par la condition que 
, qui représente la somme de toutes les probabilités, vaut 1. On peut montrer que 
et on obtient donc la loi de Gauss, dite loi normale.
En revenant aux variables non normées, on obtient:
Cette loi régit sous des conditions très générales, et souvent rencontrées, beaucoup de phénomènes aléatoires.
Si p soit fixé au départ, la moyenne np tend également vers l'infini; de plus l'écart npq tend également vers l'infini.
(Le cas où p varie et tend vers 0 tout en laissant fixe la moyenne m = np sera étudié par ailleurs et donnera lieu à la distribution de Poisson).
Si on veut calculer la limite de la distribution binomiale, il s'agira donc de faire un changement d'origine qui stabilise la moyenne, en 0 par exemple, et un changement d'unité qui stabilise l'écart, à 1 par exemple.
Voyons tout d'abord comment varie Pn(k) en fonction de k et calculons la différence:
On en conclut que Pn(k) est une fonction croissante de k, tant que np - k - q est positif. Remarquons que q < 1 et que par conséquent les deux valeurs de k voisines de la moyenne np constituent les maxima de Pn(k). D'autre part la différence Pn(k + 1) - Pn(k) est le taux d'accroissement de la fonctionPn(k) ; il peut s'écrire sous la forme:
Si n devient grand, k l'est également, pour autant que p soit fixé et que l'on s'intéresse aux valeurs de la fonction proches de la moyenne; les variations de k deviennent négligeables par rapport à k. Si l'on effectue un changement de variable adéquat, la variation de la nouvelle variable tend vers 0 et l'on est conduit à effectuer un passage à la limite. Remplaçons k par une nouvelle variable x dont la moyenne soit 0 et telle que son écart vaille 1; on a
; appelons F(x) l'expression dePn(k) calculée
en fonction de la nouvelle variable. Le taux d'accroissement de F(x) vaut: et, en appliquant le résultat trouvé précédemment, on obtient:
Après un passage à la limite pour n tendant vers l'infini, tenant compte de ce que q < 1 et du fait que les valeurs de k considérées se trouvent au voisinage de la moyenne np, on obtient:
Cette équation peut encore s'écrire:
et en intégrant les deux membres de cette égalité on obtient .
Les solutions sont les fonctions .
La constante est déterminée par la condition que , qui représente la somme de toutes les probabilités, vaut 1. On peut montrer que et on obtient donc la loi de Gauss, dite loi normale.
En revenant aux variables non normées, on obtient:
Cette loi régit sous des conditions très générales, et souvent rencontrées, beaucoup de phénomènes aléatoires.