Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Droite d'Euler et cercle de Feuerbach
Voici une petite curiosité qu'il serait dommage d'oublier, d'autant plus que lui sont associés les noms de deux mathématiciens, dont le célèbre Euler.
Soit un triangle de sommets p1, p2 et p3.
A ce triangle sont associés de nombreux points "remarquables". Accordons notre attention à 3 d'entre eux:
S'il est très simple de montrer que les 3 médiatrices et que les 3 médianes sont concourantes, il est moins direct de montrer que les trois hauteurs d'un triangle concourent en un même point.
Pour cela on utilise une petite astuce. On remarque que les 3 médiatrices sont les 3 hauteurs du triangle ayant pour sommets m1, m2 et m3, les 3 mileux des côtés du triangle initial. Il suffit alors de remarquer que l'on passe du grand triangle au petit par une homothétie de rapport-½, dont le centre est situé au point g, intersection des 3 médianes.
On voit ainsi que ce point g est aligné avec o et h. La droite ogh est appelée droite d'Euler. De plus, comme le rapport d'homothétie vaut -½, hg est le double de go.
Sur cette figure on remarque également un cercle circonscrit au triangle m1 m2 m3.
On peut y voir des propriétés remarquables.
Tout d'abord, ce cercle se déduit du cercle circonscrit au triangle p1 p2 p3 par une homothétie de centre g de rapport -½ de centre g
Mais où est situé le centre f de ce cercle ?
C'est évidemment l'image de o dans l'homothétie de centre g et de rapport -½.
On sait que hg = 2.go,
mais fg = ½go.
On a donc la configuration suivante:
et le centre f est donc situé au milieu de ho.
Considérons à présent une homothétie de centre h et de rapport +½.
Cette homothétie transformera le cercle circonscrit à p1 p2 p3 en cercle de centre c et dont le rayon sera la moitié du cercle de départ. C'est donc le même cercle que le précédent !
Le triangle p1 p2 p3 a pour image le triangle e1 e2 e3 déterminé par les milieux de segments joignant chaque sommet à l'orthocentre; ces points sont appelés eulériens.
Il en résulte que les six points m1, m2, m3 et e1, e2, e3 sont situés sur un même cercle, ce qui est déjà fort remarquable.
Mais il y a plus !
En effet en revenant à la figure initiale:
Le triangle e1 e2 e3 et le triangle m1 m2 m3 sont tous deux homothétiques au triangle p1 p2 p3. Les rapports d'homothétie valent respectivement +½ et -½. Ils sont donc homothétiques entre eux de rapport -1, ce qui est équivalent à dire qu'ils se correspondent dans une symétie centrale. De plus, le centre de symétrie est précisément le point f.
On voit donc que les points eulériens sont diamétralement opposés aux milieux des côtés du triangle et, par suite, les droites ei mi qui les joignent sont des diamètres du petit cercle.
Les triangles ei hi mi, pour i = 1, 2, 3 sont rectangles en hi et il en résulte que les 3 points hi sont également situés sur ce cercle. On a donc 9 points sur un même cercle !
Ce cercle des 9 points est également dénommé cercle de Feuerbach en l'honneur du mathématicien qui remarqua cette propriété.
Soit un triangle de sommets p1, p2 et p3.
A ce triangle sont associés de nombreux points "remarquables". Accordons notre attention à 3 d'entre eux:
- o, le centre du cercle circonscrit, intersection des 3 médiatrices,
- g, le centre de gravité (barycentre), intersection des 3 médianes, et
- h, l'orthocentre, intersection des 3 hauteurs.
S'il est très simple de montrer que les 3 médiatrices et que les 3 médianes sont concourantes, il est moins direct de montrer que les trois hauteurs d'un triangle concourent en un même point.
Pour cela on utilise une petite astuce. On remarque que les 3 médiatrices sont les 3 hauteurs du triangle ayant pour sommets m1, m2 et m3, les 3 mileux des côtés du triangle initial. Il suffit alors de remarquer que l'on passe du grand triangle au petit par une homothétie de rapport-½, dont le centre est situé au point g, intersection des 3 médianes.
On voit ainsi que ce point g est aligné avec o et h. La droite ogh est appelée droite d'Euler. De plus, comme le rapport d'homothétie vaut -½, hg est le double de go.
Sur cette figure on remarque également un cercle circonscrit au triangle m1 m2 m3.
On peut y voir des propriétés remarquables.
Tout d'abord, ce cercle se déduit du cercle circonscrit au triangle p1 p2 p3 par une homothétie de centre g de rapport -½ de centre g
Mais où est situé le centre f de ce cercle ?
C'est évidemment l'image de o dans l'homothétie de centre g et de rapport -½.
On sait que hg = 2.go,
mais fg = ½go.
On a donc la configuration suivante:
et le centre f est donc situé au milieu de ho.
Considérons à présent une homothétie de centre h et de rapport +½.
Cette homothétie transformera le cercle circonscrit à p1 p2 p3 en cercle de centre c et dont le rayon sera la moitié du cercle de départ. C'est donc le même cercle que le précédent !Le triangle p1 p2 p3 a pour image le triangle e1 e2 e3 déterminé par les milieux de segments joignant chaque sommet à l'orthocentre; ces points sont appelés eulériens.
Il en résulte que les six points m1, m2, m3 et e1, e2, e3 sont situés sur un même cercle, ce qui est déjà fort remarquable.
Mais il y a plus !
En effet en revenant à la figure initiale:
Le triangle e1 e2 e3 et le triangle m1 m2 m3 sont tous deux homothétiques au triangle p1 p2 p3. Les rapports d'homothétie valent respectivement +½ et -½. Ils sont donc homothétiques entre eux de rapport -1, ce qui est équivalent à dire qu'ils se correspondent dans une symétie centrale. De plus, le centre de symétrie est précisément le point f.
On voit donc que les points eulériens sont diamétralement opposés aux milieux des côtés du triangle et, par suite, les droites ei mi qui les joignent sont des diamètres du petit cercle.
Les triangles ei hi mi, pour i = 1, 2, 3 sont rectangles en hi et il en résulte que les 3 points hi sont également situés sur ce cercle. On a donc 9 points sur un même cercle !
Ce cercle des 9 points est également dénommé cercle de Feuerbach en l'honneur du mathématicien qui remarqua cette propriété.