Voici une petite curiosité qu'il serait dommage d'oublier, d'autant plus que lui sont associés les noms de deux mathématiciens, dont le célèbre Euler.

Soit un triangle de sommets p₁, p₂ et p₃.
A ce triangle sont associés de nombreux points "remarquables". Accordons notre attention à 3 d'entre eux:

• o, le centre du cercle circonscrit, intersection des 3 médiatrices,
• g, le centre de gravité (barycentre), intersection des 3 médianes, et
• h, l'orthocentre, intersection des 3 hauteurs.

S'il est très simple de montrer que les 3 médiatrices et que les 3 médianes sont concourantes, il est moins direct de montrer que les trois hauteurs d'un triangle concourent en un même point.

Pour cela on utilise une petite astuce. On remarque que les 3 médiatrices sont les 3 hauteurs du triangle ayant pour sommets m₁, m₂ et m₃, les 3 mileux des côtés du triangle initial. Il suffit alors de remarquer que l'on passe du grand triangle au petit par une homothétie de rapport -½, dont le centre est situé au point g, intersection des 3 médianes.

On voit ainsi que ce point g est aligné avec o et h. La droite ogh est appelée droite d'Euler. De plus, comme le rapport d'homothétie vaut -½, hg est le double de go.

Sur cette figure on remarque également un cercle circonscrit au triangle m₁ m₂ m₃.

On peut y voir des propriétés remarquables.
Tout d'abord, ce cercle se déduit du cercle circonscrit au triangle p₁ p₂ p₃ par une homothétie de rapport -½ et de centre g
Mais où est situé le centre f de ce cercle ?

C'est évidemment l'image de o dans l'homothétie de centre g et de rapport -½.
On sait que hg = 2.go,
mais fg = ½go.

On a donc la configuration suivante:

Considérons à présent une homothétie de centre h et de rapport +½.

Cette homothétie transformera le cercle circonscrit à p₁ p₂ p₃ en cercle de centre c et dont le rayon sera la moitié du cercle de départ. C'est donc le même cercle que le précédent !
Le triangle p₁ p₂ p₃ a pour image le triangle e₁ e₂ e₃ déterminé par les milieux de segments joignant chaque sommet à l'orthocentre; ces points sont appelés eulériens.
Il en résulte que les six points m₁, m₂, m₃ et e₁, e₂, e₃ sont situés sur un même cercle, ce qui est déjà fort remarquable.

Mais il y a plus ! Revenons à la figure initiale:

Le triangle e₁ e₂ e₃ et le triangle m₁ m₂ m₃ sont tous deux homothétiques au triangle p₁ p₂ p₃. Les rapports d'homothétie valent respectivement +½ et -½. Ils sont donc homothétiques entre eux de rapport -1, ce qui est équivalent à dire qu'ils se correspondent dans une symétie centrale. De plus, le centre de symétrie est précisément le point f.
On voit donc que les points eulériens sont diamétralement opposés aux milieux des côtés du triangle et, par suite, les droites e_i m_i qui les joignent sont des diamètres du petit cercle.
Les triangles e_i h_i m_i, pour i = 1, 2, 3 sont rectangles en h_i et il en résulte que les 3 points h_i sont également situés sur ce cercle. On a donc 9 points sur un même cercle !

Ce cercle des 9 points est également dénommé cercle de Feuerbach en l'honneur du mathématicien qui remarqua cette propriété.