Pas si complexe que ça !
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Soit Z = Z(z) une fonction dérivable de la variable complexe z = x + iy. Le nombre complexe Z peut s'écrire X + iY. La fonction qui applique z sur Z se ramène à un couple de 2 fonctions réelles de 2 variables X = X (x, y), Y = Y (x, y) Géométriquement on a une application du plan p de la variable z vers le plan P de la variable Z. Ces deux fonctions X et Y ne sont pas quelconques; elles satisfont aux équations de Cauchy-Riemann. Pour les établir, calculons les dérivées de Z par rapport à x et y; on a:  La fonction Z sera dérivable en un point si la dérivée ne dépend pas du chemin suivi. En particulier la dérivée dans une direction réelle (par rapport à x) doit être égale à la dérivée dans une direction imaginaire pure (par rapport à iy); on en déduit: 
Que signifient ces relations? Si, dans le plan p (x,y) nous avons une courbe c d'équations x = x(t) et y = y(t), son image dans le plan P (X, Y) est la courbe C d'équations: X = X(x(t), y(t)), Y = Y(x(t), y(t)).  Il est donc l'image du vecteur tangent à la courbe c (dx/dt, dy/dt) par l'application dont la matrice est:  Mais grâce aux relations que nous avions établies, nous voyons que cette matrice est du type:  c'est-à-dire une matrice de similitude. En particulier les angles formés par les directions en un point sont conservés; les transformations de p vers P sont des transformations conformes. Des courbes orthogonales sont appliquées sur des courbes orthogonales et en particulier les réseaux de courbes x = x0, y = y0 ou X = X0, Y = Y0. Notons enfin que les fonctions X(x, y) et Y(x, y) sont harmoniques, elles satisfont à l'équation:  Etudions à titre d'exemple la fonction appliquant z sur son carré Z; on a: Z = X + iY = (x + iy)² = x² - y² + 2 ixy
La relation entre z et Z n'est pas bijective; z0 et -z0 ont même carré. Deux points symétriques par rapport à l'origine dans le plan de la variable z correspondent à un même point du plan de la fonction Z. Si on désire avoir une bijection, il faut donc limiter le domaine de z à un demi-plan limité par une demi-droite. (On pourrait également continuer à étudier l'application du plan entier de la variable z mais alors l'image serait formée de deux copies connectées du plan des Z, la surface de Riemann associée à la fonction carré) Les droites x = p donnent les courbes:
et les droites y = q donnent les courbes:
Ces deux familles de paraboles sont orthogonales:  L'image du réseau orthogonal des courbes x = x0 et y = y0 est le réseau orthogonal formé par ces deux familles de paraboles. Les choses se visualisent fort bien si l'on considère l'application qui envoie z sur une combinaison linéaire de z et de Z = z²; les deux réseaux de droites orthogonales x et y constants sont envoyés sur les deux réseaux de paraboles orthogonales. De manière plus précise on applique z sur (1 - λ)z + λz² avec λ variant de 0 à 1. De même, dans le plan P de la variable Z, les courbes X = P et Y = Q proviennent des courbes:  Ces deux réseaux d'hyperboles du plan de la variable z sont l'image des réseaux de droites coordonnées du plan Z. On peut considérer la relation réciproque de Z vers z ; z est la racine carrée de Z. On peut obtenir une fonction en se limitant à la racine carrée "positive", c'est-à-dire celle dont la partie réelle est positive ou, si celle-ci est nulle, la partie imaginaire positive.  Comme plus haut, on peut visualiser cette application de manière dynamique en considérant
l'application de Z sur une combinaison linéaire de Z et de z = On peut procéder de même pour d'autres fonctions d'une variable complexe, par exemple,les familles de courbes associées à l'élévation aux puissances entières ou celles associées à des fonctions transcendantes, en particulier aux fonctions sin(z) et exp(z). |
Z transforme les deux réseaux des droites orthogonales X = P et Y = Q en les deux réseaux orthogonaux d'hyperboles équilatères.