Xavier Hubaut - Professeur émérite de l'Université Libre de Bruxelles
Pas si complexe que ça !
Soit Z = Z(z) une fonction dérivable de la variable complexe z = x + iy. Le nombre complexe Z peut s'écrire X + iY. La fonction qui applique z sur Z se ramène à un couple de 2 fonctions réelles de 2 variables X = X (x, y), Y = Y (x, y)
Géométriquement on a une application du plan p de la variable z vers le plan P de la variable Z. Ces deux fonctions X et Y ne sont pas quelconques; elles satisfont aux équations de Cauchy-Riemann.
Pour les établir, calculons les dérivées de Z par rapport à x et y; on a:
La fonction Z sera dérivable en un point si la dérivée ne dépend pas du chemin suivi. En particulier la dérivée dans une direction réelle (par rapport à x) doit être égale à la dérivée dans une direction imaginaire pure (par rapport à iy); on en déduit:
Que signifient ces relations?
Si, dans le plan p (x,y) nous avons une courbe c d'équations x = x(t) et y = y(t), son image dans le plan P (X, Y) est la courbe C d'équations: X = X(x(t), y(t)), Y = Y(x(t), y(t)).
Le vecteur tangent à C s'écrit:
Il est donc l'image du vecteur tangent à la courbe c (dx/dt, dy/dt) par l'application dont la matrice est:
Mais grâce aux relations que nous avions établies, nous voyons que cette matrice est du type:
c'est-à-dire une matrice de similitude. En particulier les angles formés par les directions en un point sont conservés; les transformations de p vers P sont des transformations conformes.
Des courbes orthogonales sont appliquées sur des courbes orthogonales et en particulier les réseaux de courbes x = x0, y = y0 ou X = X0, Y = Y0. Notons enfin que les fonctions X(x, y) et Y(x, y) sont harmoniques, elles satisfont à l'équation:
Etudions à titre d'exemple la fonction appliquant z sur son carré Z; on a:
Dans le plan P de la variable Z, les courbes X = P et Y = Q proviennent des courbes:
c'est-à-dire de 2 familles d'hyperboles équilatères ayant pour asymptotes respectivement les bissectrices des axes et les axes eux-mêmes.
Les deux réseaux des droites orthogonales x et y constants sont appliqués sur les deux réseaux orthogonaux d'hyperboles équilatères.
On peut visualiser cette application de manière dynamique en considérant l'application de z sur une combinaison linéaire de z et de racine carrée de z. De manière plus précise on applique z sur αz² + (1 - α)z avec α variant de 0 à 1.
Inversement les courbes x = p donnent les courbes:
c'est-à-dire des paraboles:
et les courbes y = q donnent les courbes:
c'est-à-dire des paraboles orthogonales:
Il faut remarquer que l'élévation au carré applique les points z et -z sur le même point Z; en fait le demi-plan p est appliqué sur le plan P, ou si l'on préfère le plan p est appliqué sur le plan P compté deux fois (il s'agit en fait de la surface de Riemann).
A nouveau les choses se visualisent fort bien si l'on considère l'application qui envoie z sur une combinaison linéaire de z² et de z; les deux réseaux de droites orthogonales x et y constants sont envoyés sur les deux réseaux de paraboles orthogonales.
Il est également intéressant d'étudier de la même manière les courbes associées à l'élévation aux puissances entières ou celles associées à des fonctions transcendantes, en particulier aux fonctions sin(z) et exp(z).
Géométriquement on a une application du plan p de la variable z vers le plan P de la variable Z. Ces deux fonctions X et Y ne sont pas quelconques; elles satisfont aux équations de Cauchy-Riemann.
Pour les établir, calculons les dérivées de Z par rapport à x et y; on a:
La fonction Z sera dérivable en un point si la dérivée ne dépend pas du chemin suivi. En particulier la dérivée dans une direction réelle (par rapport à x) doit être égale à la dérivée dans une direction imaginaire pure (par rapport à iy); on en déduit:
Que signifient ces relations?
Si, dans le plan p (x,y) nous avons une courbe c d'équations x = x(t) et y = y(t), son image dans le plan P (X, Y) est la courbe C d'équations: X = X(x(t), y(t)), Y = Y(x(t), y(t)).
Le vecteur tangent à C s'écrit:
Il est donc l'image du vecteur tangent à la courbe c (dx/dt, dy/dt) par l'application dont la matrice est:
Mais grâce aux relations que nous avions établies, nous voyons que cette matrice est du type:
c'est-à-dire une matrice de similitude. En particulier les angles formés par les directions en un point sont conservés; les transformations de p vers P sont des transformations conformes.
Des courbes orthogonales sont appliquées sur des courbes orthogonales et en particulier les réseaux de courbes x = x0, y = y0 ou X = X0, Y = Y0. Notons enfin que les fonctions X(x, y) et Y(x, y) sont harmoniques, elles satisfont à l'équation:
Etudions à titre d'exemple la fonction appliquant z sur son carré Z; on a:
Z = X + iY = (x + iy)² = x² - y² + 2 ixy
Dans le plan P de la variable Z, les courbes X = P et Y = Q proviennent des courbes:
c'est-à-dire de 2 familles d'hyperboles équilatères ayant pour asymptotes respectivement les bissectrices des axes et les axes eux-mêmes.
Les deux réseaux des droites orthogonales x et y constants sont appliqués sur les deux réseaux orthogonaux d'hyperboles équilatères.
On peut visualiser cette application de manière dynamique en considérant l'application de z sur une combinaison linéaire de z et de racine carrée de z. De manière plus précise on applique z sur αz² + (1 - α)z avec α variant de 0 à 1.
Inversement les courbes x = p donnent les courbes:
Il faut remarquer que l'élévation au carré applique les points z et -z sur le même point Z; en fait le demi-plan p est appliqué sur le plan P, ou si l'on préfère le plan p est appliqué sur le plan P compté deux fois (il s'agit en fait de la surface de Riemann).
A nouveau les choses se visualisent fort bien si l'on considère l'application qui envoie z sur une combinaison linéaire de z² et de z; les deux réseaux de droites orthogonales x et y constants sont envoyés sur les deux réseaux de paraboles orthogonales.
Il est également intéressant d'étudier de la même manière les courbes associées à l'élévation aux puissances entières ou celles associées à des fonctions transcendantes, en particulier aux fonctions sin(z) et exp(z).