Introduction
Une conique est en fait, une section conique, c'est-à-dire une ellipse , une hyperbole , une parabole , éventuellement deux droites, peut-être confondues.
Le lien entre les définitions "classiques" d'ellipse, parabole, hyperbole et la définition étymologique "section d'un cône" est assuré par les théorèmes belges .
Si l'on utilise des coordonnées, on constate que tous les exemples mentionnés plus haut sont des ensembles de points satisfaisant une équation du second degré en
Remarquons que la réciproque n'est évidemment pas vraie. Il est pourtant commode de définir une conique par une équation du second degré.
D'autre part comme il s'agit de sections coniques il est évident que les propriétés les plus fondamentales, les plus profondes seront les propriétés invariantes par projection centrale , autrement dit les propriétés projectives . Il est dès lors naturel d'utiliser les coordonnées adaptées à de telles propriétés, c'est-à-dire les coordonnées homogènes .
Propriétés projectives
Une conique
Une conique
Points conjugués
Calculons (et ce sera pratiquement le seul calcul de toute la section consacrée aux coniques !) la condition pour que deux points
Soient
Les deux points
En ordonnant l'équation par rapport aux paramètres on a :
Cette relation fondamentale peut s'écrire de manière condensée sous la forme :
Comme
Notions dérivées
A partir d'ici tout devient simple:
-
points conjugués
:
-
pôle
et polaire
(ensemble des conjugués du pôle
) : -
tangente
au point
(avec ) : -
point double
: il se pourrait que
ne soit pas l'équation d'une droite, que soit identiquement nul.
Que se passe-t-il dans ce cas ? Remarquons que :
Ce système homogène admet une solution non triviale, son déterminant est nul (et réciproquement s'il en est ainsi un tel point
Elle est donc décomposée en deux droites se coupant précisément au point p' . Toute droite passant par p' couperait la conique en deux points confondus. Ce point est alors appelé point double.
-
tangentes issues d'un point
: on cherche les points
tels que soit une tangente, c'est-à-dire que les points d'intersection de la droite avec la conique soient confondus, autrement dit le discriminant de l'équation en les paramètres doit être nul : -
triangle autopolaire
: étant donné une conique
on choisit un point qui ne lui appartient pas.
La polaire de ce point coupe la conique en deux points (sauf si la conique se réduit à une droite comptée deux fois) ; on choisit alors sur cette polaire un point
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- Il existe une deuxième espèce de
triangle autopolaire
: on part également d'un point
, mais on prend pour points et les deux points d'intersection de la polaire de avec ; ces deux points sont distincts si la conique est proprement dite, non dégénérée. Dans ce cas, en adoptant les mêmes coordonnées, l'équation de se réduit à :
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En choisissant convenablement l'unité on peut réduire l'équation à la forme :
Sous cette forme, on obtient une paramétrisation de la conique
La paramétrisation est obtenue par des fonctions rationnelles (même polynomiales), et l'on dit qu'une conique est une courbe rationnelle. Cette propriété est très importante et utilisée dans le calcul des primitives .
Les deux figures ci-dessus sont particulièrement intéressantes dans la mesure où elles permettent de dégager immédiatement les propriétés affines et euclidiennes des coniques .