Par polyèdre "régulier", on entend un solide dont les faces sont des polygones réguliers, non nécessairement identiques. Ce polyèdre doit être conservé par un des groupes sphériques (isométries ou déplacements).
Les polyèdres platoniques et archimédiens sont caractérisés par le nombre de côtés de leurs 3 types de faces ( k, l, m ).
Il y a tout d'abord les 5 polyèdres platoniciens: (voir polyèdres réguliers )
- le tétraèdre ( 2, 3, 0 )
- le cube ( 2, 0, 4 ) (qui devrait logiquement s'appeler hexaèdre !)
- l' octaèdre ( 2, 3, 0 )
- le dodécaèdre ( 2, 0, 5 )
- l' icosaèdre ( 2, 3, 0 )
Par diverses troncatures on obtient les polyèdres semi-réguliers suivants: (voir polyèdres archimédiens )
- le tétraèdre tronqué ( 2, 3, 6 )
- le cube tronqué ( 2, 3, 8 )
- l' octaèdre tronqué ( 2, 6, 4 )
- le dodécaèdre tronqué ( 2, 3, 10 )
- l' icosaèdre tronqué ( 2, 6, 5 )
- le cuboctaèdre ( 0, 3, 4 )
- l' icosidodécaèdre ( 0, 3, 5 )
- le petit rhombicuboctaèdre ( 4, 3, 4 )
- le grand rhombicuboctaèdre (ou cuboctaèdre tronqué) ( 4, 6, 8 )
- le petit rhombicosidodécaèdre ( 4, 3, 5 )
- le grand rhombicosidodécaèdre (ou icosidodécaèdre tronqué) ( 4, 6, 10 )
En se limitant au groupe des déplacements, on obtient deux "snub" polyèdres supplémentaires:
- le snub cube
- le snub dodécaèdre
Ces deux derniers polyèdres sont "orientés" c'est-à-dire qu'il en existe deux types (gauche et droit) symétriques dans un miroir. Pour plus de détails voir l'article de la section "Polyèdres" consacrée aux "snub" polyèdres .
Il existe 4 polyèdres étoilés appartenant à la famille du dodécaèdre. Deux d'entre eux ont été découverts par Kepler , les deux autres par Poinsot . Afin de mieux les visualier, 4 vidéos sont rassemblées sur une même page .
Si vous souhaitez les construire, des patrons sont disponibles.
Signalons enfin qu'il existe d'autres polyèdres étoilés qui sont en fait des assemblages de polyèdres réguliers :
- les 2 tétraèdres dans un cube (stella octangula)
- les 5 tétraèdres dans un dodécaèdre : ce dernier est également orienté.
Signalons que l'on peut également classer les polyèdres par famille (tétraèdre, cube, dodécaèdre).